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1 . 已知函数.
(1)若时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若时,
(i)方程在上有唯一的实根,求的取值范围;
(ii)函数.若,是方程的两个实根,求证:.
(1)若时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若时,
(i)方程在上有唯一的实根,求的取值范围;
(ii)函数.若,是方程的两个实根,求证:.
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2 . 设是三次函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为三次函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心.设函数,则以下说法正确的是( )
A.的拐点为 | B.有极值点,则 |
C.过的拐点有三条切线 | D.若,,则 |
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3 . 牛顿数列是牛顿利用曲线的切线和数列的极限探求函数的零点时提出的,在航空航天领域中应用广泛.已知牛顿数列的递推关系为:是曲线在点处的切线在轴上的截距,其中.
(1)若,并取,则的通项公式为__________ ;
(2)若取,且为单调递减的等比数列,则可能为__________ .
(1)若,并取,则的通项公式为
(2)若取,且为单调递减的等比数列,则可能为
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4 . 请解决以下两道关于圆锥曲线的题目.
(1)已知圆,圆过点且与圆外切. 设点的轨迹为曲线.
①已知曲线与曲线无交点,求的最大值(用表示);
②若记(2)中题①的最大值为,圆和曲线相交于、两点,曲线与轴交于点,求四边形的面积的最大值,并求出此时的值. (参考公式:,其中,当且仅当时取等号)
(2)如图,椭圆的左右焦点分别为、,其上动点到的距离最大值和最小值之积为,且椭圆的离心率为.①求椭圆的标准方程;
②已知椭圆外有一点,过点作椭圆的两条切线,且两切线斜率之积为.是否存在合适的点,使得?若存在,请写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)已知圆,圆过点且与圆外切. 设点的轨迹为曲线.
①已知曲线与曲线无交点,求的最大值(用表示);
②若记(2)中题①的最大值为,圆和曲线相交于、两点,曲线与轴交于点,求四边形的面积的最大值,并求出此时的值. (参考公式:,其中,当且仅当时取等号)
(2)如图,椭圆的左右焦点分别为、,其上动点到的距离最大值和最小值之积为,且椭圆的离心率为.①求椭圆的标准方程;
②已知椭圆外有一点,过点作椭圆的两条切线,且两切线斜率之积为.是否存在合适的点,使得?若存在,请写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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解题方法
5 . 如图,在棱长为的正方体上,点为体对角线靠近点的三等分点,点为棱 的中点,点在平面上,且在该平面与正方体表面的交线所组成的封闭图形中(含边界),则下列说法正确的是( )
A.平面与底面的夹角余弦值为; |
B.点到平面的距离为; |
C.点到点的距离最大值为; |
D.设平面与正方体棱的交点为、… 、,则边形最长的对角线的长度大于. |
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6 . 帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m,n,函数在处的阶帕德近似定义为:,且满足:,,,…,.(注:,,,,…;为的导数).
(1)求函数在处的阶帕德近似函数;
(2)在(1)的条件下,试比较与的大小;
(3)在(1)的条件下,若在上存在极值,求m的取值范围.
(1)求函数在处的阶帕德近似函数;
(2)在(1)的条件下,试比较与的大小;
(3)在(1)的条件下,若在上存在极值,求m的取值范围.
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7 . “肝胆两相照,然诺安能忘.”(《承左虞燕京惠诗却寄却寄》,明•朱察卿)若两点关于点成中心对称,则称为一对“然诺点”,同时把和视为同一对“然诺点”.已知,函数的图象上有两对“然诺点”,则等于( )
A.2 | B.3 | C.4 | D.5 |
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解题方法
8 . 已知椭圆经过点,且离心率为.直线与交于两点,连结.
(1)求面积的最大值;
(2)设直线分别与轴交于点,线段的中点为,求直线与直线的交点的轨迹方程.
(1)求面积的最大值;
(2)设直线分别与轴交于点,线段的中点为,求直线与直线的交点的轨迹方程.
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解题方法
9 . 已知函数为自然对数的底数.
(1)设,求在区间内的实根个数;
(2)若对任意都成立,求的取值范围;
(3)设,比较与的大小.
(1)设,求在区间内的实根个数;
(2)若对任意都成立,求的取值范围;
(3)设,比较与的大小.
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10 . 若函数有两个零点,则实数的取值范围为__________ .
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2024-05-04更新
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559次组卷
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2卷引用:四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题