1 . 已知函数
，曲线
在点
处的切线为
，记
．
(1)当
时，求切线
的方程；
(2)在（1）的条件下，求函数
的零点并证明
；
(3)当
时，直接写出函数的零点个数．（结论不要求证明）
，曲线在点处的切线为，记．(1)当
时，求切线的方程；(2)在（1）的条件下，求函数
的零点并证明；(3)当
时，直接写出函数的零点个数．（结论不要求证明）
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2 . 设非零向量
，
，并定义
(1)若
，求
；
(2)写出
之间的等量关系，并证明；
(3)若
，求证：集合
是有限集.
，，并定义(1)若
，求；(2)写出
之间的等量关系，并证明；(3)若
，求证：集合是有限集.
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3 . 对于正整数集合
（
），如果任意去掉其中一个元素
之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；
(1)判断集合
和
是否是“可分集合”（不必写过程）；
(2)求证：四个元素的集合
一定不是“可分集合”；
(3)若集合
是“可分集合”，证明：
为奇数.
（），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；(1)判断集合
和是否是“可分集合”（不必写过程）；(2)求证：四个元素的集合
一定不是“可分集合”；(3)若集合
是“可分集合”，证明：为奇数.
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名校
解题方法
4 . 已知椭圆C:
的离心率为
长轴的右端点为
.
(1)求C的方程；
(2)不经过点A的直线与椭圆C分别相交于
两点，且以MN为直径的圆过点
，
①试证明直线过一定点，并求出此定点；
②从点作
垂足为
，点
写出
的最小值（结论不要求证明）.
的离心率为长轴的右端点为.(1)求C的方程；
(2)不经过点A的直线
与椭圆C分别相交于两点，且以MN为直径的圆过点，①试证明直线
过一定点，并求出此定点；②从点
作垂足为，点写出的最小值（结论不要求证明）.
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5 . 对任意正整数n，记集合
，
．
，
，若对任意
都有
，则记
．
(1)写出集合
和
；
(2)证明：对任意
，存在
，使得；
(3)设集合
．求证：
中的元素个数是完全平方数．
，．，，若对任意都有，则记．(1)写出集合
和；(2)证明：对任意
，存在，使得；(3)设集合
．求证：中的元素个数是完全平方数．
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2023-11-15更新
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130次组卷
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4卷引用：北京市朝阳区2022届高三上学期期末统一检测数学试题
名校
6 . 已知，集合
，对于
，定义A与B之间的距离为：
．
(1)对任意的
，请写出
可能的值（不必证明）；
(2)设
，且P中有4个元素，记P中所有元素间的距离的平均值为
，求的最大值；
(3)对，定义：
．求证：对任意的
，有以下结论成立：
①
．
②
三个数中至少有一个是偶数．
，对于，定义A与B之间的距离为：．(1)对任意的
，请写出可能的值（不必证明）；(2)设
，且P中有4个元素，记P中所有元素间的距离的平均值为，求的最大值；(3)对
，定义：．求证：对任意的，有以下结论成立：①
．②
三个数中至少有一个是偶数．
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2022-11-13更新
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289次组卷
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5卷引用：北京市大峪中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题
北京市大峪中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题上海交通大学附属中学嘉定分校2022-2023学年高一上学期期中数学试题（已下线）难关必刷01集合的综合问题（3种题型30题专项训练）-【满分全攻略】（沪教版2020必修第一册）（已下线）期中真题必刷压轴30题-【满分全攻略】（沪教版2020必修第一册）（已下线）期中真题必刷压轴60题（15个考点专练）-【满分全攻略】（人教A版2019必修第一册）
名校
7 . 已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，求证：当
时，
；
(3)对任意的
，判断
与
的大小关系，并证明结论．
．(1)求曲线
在点处的切线方程；(2)设
，求证：当时，；(3)对任意的
，判断与的大小关系，并证明结论．
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2023-06-18更新
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421次组卷
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2卷引用：北京市大兴区2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
22-23高三下·北京海淀·开学考试
名校
解题方法
8 . 若无穷数列
的各项均为整数．且对于
，都存在
，使得
，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①
，
，
，
，…；
②
，，，，…．
(2)若数列满足性质P，且
，求证：集合
为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，请写出数列的通项公式（不需要证明）．
的各项均为整数．且对于，都存在，使得，则称数列满足性质P．(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①
，，，，…；②
，，，，…．(2)若数列
满足性质P，且，求证：集合为无限集；(3)若周期数列
满足性质P，请写出数列的通项公式（不需要证明）．
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2023-03-27更新
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579次组卷
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6卷引用：北京市海淀区清华大学附属中学2023届高三下学期开学调研测试数学试题
（已下线）北京市海淀区清华大学附属中学2023届高三下学期开学调研测试数学试题北京市第五中学2023届高三下学期3月检测数学试题北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2023届高三零模数学试题北京市海淀区中国人民大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学复习试题（2）北京市海淀区首都师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期阶段练习（1月）数学试题（已下线）2023年北京高考数学真题变式题16-21
名校
解题方法
9 . 对于定义域为R的函数
，如果存在常数T，
，使得
是以T为周期的函数，则称函数为正弦周期函数，且称常数T为的正弦周期.
已知函数
满足以下四个条件：
①函数是以T为正弦周期的正弦周期函数；
②函数的值域为R；
③函数在区间
上单调递增：
④
，
(1)分别判断函数
､
是否为正弦周期函数.如果是正弦周期函数，写出它的正弦周期，（不需证明）.
(2)设
，求证：对任意
，存在唯一的
使得
.
(3)求证：对于任意的
，都有
.
，如果存在常数T，，使得是以T为周期的函数，则称函数为正弦周期函数，且称常数T为的正弦周期.已知函数
满足以下四个条件：①函数
是以T为正弦周期的正弦周期函数；②函数
的值域为R；③函数
在区间上单调递增：④
，(1)分别判断函数
､是否为正弦周期函数.如果是正弦周期函数，写出它的正弦周期，（不需证明）.(2)设
，求证：对任意，存在唯一的使得.(3)求证：对于任意的
，都有.
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名校
10 . 若数列的子列
均为等差数列，则称为k阶等差数列．
(1)若，数列
的前15项与
的前15项中相同的项构成数列
，写出的各项，并求的各项和；
(2)若数列既是3阶也是4阶等差数列，设
的公差分别为
．
（ⅰ）判断的大小关系并证明；
（ⅱ）求证：数列是等差数列．
的子列均为等差数列，则称为k阶等差数列．(1)若
，数列的前15项与的前15项中相同的项构成数列，写出的各项，并求的各项和；(2)若数列
既是3阶也是4阶等差数列，设的公差分别为．（ⅰ）判断
的大小关系并证明；（ⅱ）求证：数列
是等差数列．
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2022-11-02更新
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449次组卷
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3卷引用：北京市大兴区2023届高三上学期期中检测数学试题
