1 . 设为某正方体的一条体对角线，为该正方体的各顶点与各棱中点所构成的点集，若从中任选两点连成线段，则与垂直的线段数目是（       ）

A．12

B．21

C．27

D．33

2 . 定义：若曲线或函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为曲线或函数的图象的“自公切线”.
(1)设曲线C：，在直角坐标系中作出曲线C的图象，并判断C是否存在“自公切线”？（给出结论即可，不必说明理由）

(2)证明：当时，函数不存在“自公切线”；
(3)证明：当，时，.

3 . 为应对新一代小型无人机武器，某研发部门开发了甲、乙两种不同的防御武器，现对两种武器的防御效果进行测试.每次测试都是由一种武器向目标无人机发动三次攻击，每次攻击击中目标与否相互独立，每次测试都会使用性能一样的全新无人机.对于甲种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为，且击中一次目标无人机坠毁的概率为，击中两次目标无人机必坠毁；对于乙种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为，且击中一次目标无人机坠毁的概率为，击中两次目标无人机坠毁的概率为，击中三次目标无人机必坠毁.
(1)若，分别使用甲、乙两种武器进行一次测试.
①求甲种武器使目标无人机坠毁的概率；
②记甲、乙两种武器使目标无人机坠毁的数量为，求的分布列与数学期望.
(2)若，且，试判断在一次测试中选用甲种武器还是乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大？并说明理由.

4 . 已知抛物线的焦点与圆的圆心重合，若点、分别在、上运动，点则下列说法正确的是（       ）

A．当直线经过时，

B．的周长最小值为

C．过作圆的切线，切点分别为，则当四边形的面积最小时，

D．设，则的最大值为

5 . 已知正实数，，，且，，，为自然数，则满足恒成立的，，可以是（       ）

A．，，	B．，，
C．，，	D．，，

6 . 甲、乙两人进行知识问答比赛，共有道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为和，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.
(1)若，，求甲获胜的概率；
(2)若，设甲第题的得分为随机变量，一次比赛中得到的一组观测值，如下表.现利用统计方法来估计的值：
①设随机变量，若以观测值的均值作为的数学期望，请以此求出的估计值；
②设随机变量取到观测值的概率为，即；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着的变化，用使得达到最大时的取值作为参数的一个估计值.求.

题目	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
得分	1	0	0	﹣1	1	1	﹣1	0	0	0
题目	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
得分	﹣1	0	1	1	﹣1	0	0	0	1	0

表1：甲得分的一组观测值.
附：若随机变量，的期望，都存在，则.

7 . 已知函数，则（       ）

A．函数在上单调递减

B．函数为奇函数

C．当时，函数恰有两个零点

D．设数列是首项为，公差为的等差数列，则

8 . 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 例如在1秒末，粒子会等可能地出现在四点处.
(1)设粒子在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量 ，求 的分布列和数学期望；
(2)记第秒末粒子回到原点的概率为.
（i）已知 求 以及；
（ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的.

9 . 已知，则（       ）

A．的值域为

B．时，恒有极值点

C．恒有零点

D．对于恒成立

10 . 已知.
(1)求在点处的切线方程；
(2)设曲线上点的坐标为，若曲线在点处的切线存在且倾斜角为，求的取值范围；
(3)若，求的最小值.