1 . （1）证明：当时，；
（2）若过点且斜率为的直线与曲线交于两点，为坐标原点，证明：．

2 . 已知集合，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数.
(1)若，直接写出所有满足条件的集合；
(2)若，且对任意，都有，求的最大值；
(3)若且对任意，都有，求的最大值.

3 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围.

4 . 由个数排列成行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵，也称为阶方阵，记作：其中表示矩阵中第行第列的数．已知三个阶方阵分别为，，其中分别表示中第行第列的数．若，则称是生成的线性矩阵．
(1)已知，若是生成的线性矩阵，且，求；
(2)已知，矩阵，矩阵是生成的线性矩阵，且．
（i）求；
（ii）已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．

5 . 某中学开展“劳动创造美好生活”的劳动主题教育活动，展示劳动实践成果并进行评比，某学生设计的一款如图所示的“心形”工艺品获得了“十佳创意奖”，该“心形”由上、下两部分组成，并用矩形框虚线进行镶嵌，上部分是两个半径都为的半圆，分别为其直径，且，下部分是一个“半椭圆”，并把椭圆的离心率叫做“心形”的离心率．

（1）若矩形框的周长为，则当该矩形框面积最大时，__________；
（2）若，图中阴影区域的面积为，则该“心形”的离心率为__________．

6 . 已知圆：（）分别与轴、轴交于点，（均异于坐标原点），过点作两条直线，，斜率分别为，，且，直线与轴交于点，直线与圆交于，两点．
(1)若，，求直线的方程；
(2)若原点到直线的距离为，求面积的最小值．

7 . 在四面体ABCD中，，，E，F，G分别是棱BC，AC，AD上的动点，且满足AB，CD均与面EFG平行，则（       ）

A．直线AB与平面ACD所成的角的余弦值为

B．四面体ABCD被平面EFG所截得的截面周长为定值1

C．的面积的最大值为

D．四面体ABCD的内切球的表面积为

8 . 给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为X，则___________.
   

9 . 已知过点的直线与双曲线：的左右两支分别交于、两点.
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)设点，过点且与直线垂直的直线，与双曲线交于、两点.当直线变化时，恒为一定值，求点的轨迹方程.

10 . 如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆和外切也形成一个8字形状，若，为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则的最大值为（       ）．

A．

B．

C．

D．