名校
1 . 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对
视为一个向量，记作
．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，
的数量积记作
，定义为
；复向量
的模定义为
．
(1)设
，
，求复向量与
的模；
(2)已知对任意的实向量与，都有
，当且仅当与平行时取等号；
①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式
成立，并写出此不等式的取等条件；
②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立；
(3)当
时，称复向量与平行．设
，
，
，若复向量与平行，求复数z的值．
视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为．(1)设
，，求复向量与的模；(2)已知对任意的实向量
与，都有，当且仅当与平行时取等号；①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式
成立，并写出此不等式的取等条件；②求证：对任意两个复向量
与，不等式仍然成立；(3)当
时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数z的值．
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2024-05-23更新
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457次组卷
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3卷引用：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高一下学期期中学业阶段评价考试数学试卷
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高一下学期期中学业阶段评价考试数学试卷（已下线）专题6 以新定义为背景的相关问题【练】（高一期末压轴专项）山东省济宁市北大新世纪邹城实验学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
名校
解题方法
2 . 已知常数
数列
的前
项和为
，
且
(1)求数列的通项公式；
(2)若
且数列
是单调递增数列，求实数
的取值范围；
(3)若
数列
满足：
对于任意给定的正整数
，是否存在
使
?若存在，求
的值（只要写出一组即可）；若不存在，说明理由.
数列的前项和为，且(1)求数列
的通项公式；(2)若
且数列是单调递增数列，求实数的取值范围；(3)若
数列满足：对于任意给定的正整数，是否存在使 ?若存在，求的值（只要写出一组即可）；若不存在，说明理由.
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解题方法
3 . 已知二次函数
(其中
)满足下列三个条件:①
图象过坐标原点;②对于任意
都
成立;③方程
有两个相等的实数根.
(1)求函数的解析式;
(2)令
(其中
)，求函数
的单调区间(直接写出结果即可);
(3)研究方程
在区间
内的解的个数.
(其中)满足下列三个条件:①图象过坐标原点;②对于任意都成立;③方程有两个相等的实数根.(1)求函数
的解析式;(2)令
(其中)，求函数的单调区间(直接写出结果即可);(3)研究方程
在区间内的解的个数.
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4 . 已知有限集
（
）．如果A中的元素
（
）满足
，就称A为“复活集”，给出下列结论：
①集合
是“复活集”； ②若
，且
是“复活集”，则
；
③若
，则不可能是“复活集”；④若
，则“复活集”A有且只有一个，且
．
其中正确的结论是__________ ．（填上你认为所有正确的结论序号）
（）．如果A中的元素（）满足，就称A为“复活集”，给出下列结论：①集合
是“复活集”； ②若，且是“复活集”，则；③若
，则不可能是“复活集”；④若，则“复活集”A有且只有一个，且．其中正确的结论是
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5 . 已知有限集合
，定义如下操作过程
：从
中任取两个元素、
，由中除了
、以外的元素构成的集合记为
；①若
，则令
；②若
，则
；这样得到新集合
，例如集合
经过一次操作后得到的集合可能是
也可能得到
等，可继续对取定的实施操作过程，得到的新集合记作
，……，如此经过次操作后得到的新集合记作
，设
，对于，反复进行上述操作过程，当所得集合
只有一个元素时，则所有可能的集合为______ ．
，定义如下操作过程：从中任取两个元素、，由中除了、以外的元素构成的集合记为；①若，则令；②若，则；这样得到新集合，例如集合经过一次操作后得到的集合可能是也可能得到等，可继续对取定的实施操作过程，得到的新集合记作，……，如此经过次操作后得到的新集合记作，设，对于，反复进行上述操作过程，当所得集合只有一个元素时，则所有可能的集合为
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2019-11-13更新
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958次组卷
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2卷引用：上海市向明中学2019-2020学年高一上学期9月质量监控考数学试题
6 . 设函数的反函数为
，若存在函数使得对函数定义域内的任意
都有
，则称函数为函数的“Inverse”函数.
（1）判断下列哪个函数是函数
的“Inverse”函数并说明理由.
①
；②
；
（2）设函数存在反函数，证明函数存在唯一的“Inverse”函数的充要条件是函数的值域为
；
（3）设函数
存在反函数，函数为的一个“Inverse”函数，记
，其中
，若对函数定义域内的任意都有
，求所有满足条件的函数的解析式.
的反函数为，若存在函数使得对函数定义域内的任意都有，则称函数为函数的“Inverse”函数.（1）判断下列哪个函数是函数
的“Inverse”函数并说明理由.①
；②；（2）设函数
存在反函数，证明函数存在唯一的“Inverse”函数的充要条件是函数的值域为；（3）设函数
存在反函数，函数为的一个“Inverse”函数，记，其中，若对函数定义域内的任意都有，求所有满足条件的函数的解析式.
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解题方法
7 . 球面几何学是在球表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子.对于半径为R的球
，过球面上一点作两条大圆的弧
，
，它们构成的图形叫做球面角，记作
（或
），其值为二面角
的大小，点称为球面角的顶点，大圆弧
称为球面角的边.不在同一大圆上的三点
，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧
，这三条劣弧组成的图形称为球面
，这三条劣弧称为球面的边，三点称为球面的顶点；三个球面角
称为球面的三个内角.的单位球面上有不同在一个大圆上的三点．
(1)球面的三条边长相等（称为等边球面三角形），若
，求球面的内角和；
(2)类比二面角，我们称从点
出发的三条射线
组成的图形为三面角，记为
.
其中点称为三面角的顶点，称为它的棱，
称为它的面角. 若三面角
的三个面角的余弦值分别为
.
（ⅰ）求球面的三个内角的余弦值；
（ⅱ）求球面的面积.
，过球面上一点作两条大圆的弧，，它们构成的图形叫做球面角，记作（或），其值为二面角的大小，点称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边.不在同一大圆上的三点，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，这三条劣弧组成的图形称为球面，这三条劣弧称为球面的边，三点称为球面的顶点；三个球面角称为球面的三个内角.
的单位球面上有不同在一个大圆上的三点．(1)球面
的三条边长相等（称为等边球面三角形），若，求球面的内角和；(2)类比二面角，我们称从点
出发的三条射线组成的图形为三面角，记为.其中点
称为三面角的顶点，称为它的棱，称为它的面角. 若三面角的三个面角的余弦值分别为.（ⅰ）求球面
的三个内角的余弦值；（ⅱ）求球面
的面积.
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2023高一·全国·专题练习
8 . 已知函数
的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧．
(1)求实数m的取值范围：
(2)令
，求
的值：（其中
表示不超过t的最大整数，例如：
，
）.
(3)对（2）中的t，求函数
的取值范围．
的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧．(1)求实数m的取值范围：
(2)令
，求的值：（其中表示不超过t的最大整数，例如：，）.(3)对（2）中的t，求函数
的取值范围．
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