1 . 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链下垂部分所形成的曲线是悬链线，通过建立适当坐标系，悬链线可为函数的图象，我们称这个函数为“双曲余弦函数”，记为，把称为“双曲正弦函数”，记，易知．
(1)证明：（i）当时，；
（ii）当时，；
(2)证明：．

2 . 如图所示（省略y轴），设P是函数图像上的一点，是曲线在点P处的切线．若存在点P和，使得曲线在P、处的切线相互垂直，则称曲线上存在以P、为端点的直角弯，简称直角弯．

(1)设，，横坐标为的点P是曲线上一点，求以点P为端点的直角弯的另一个端点的坐标；
(2)设，，试问曲线上是否存在直角弯？若存在，求出端点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)数学建模社研究车辆转弯时，欲引入“平均弯曲率”来粗略地刻画曲线段的弯曲程度，并满足假设：直观上弯曲程度越大的曲线段的“平均弯曲率”越大．设曲线上直角弯端点P、的横坐标分别为、，社员想用（记作①）或（记作②）其中之一作为该段直角弯的“平均弯曲率”．请根据圆内半径不同的圆中直角弯的直观感，帮社员们做出决定（将①或②填在答题纸相应位置，无需说明理由）；
(4)设，，“平均弯曲率”如（3）中定义，求曲线上所有直角弯“平均弯曲率”的最大值．

3 . 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大，圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，给出下列四个结论：
①函数在无数个点处的曲率为1；
②函数的曲率恒为；
③函数的曲率半径随着变大而变大；
④若函数在与（）处的曲率半径相同，则.
其中，所有正确结论的序号是_____________.

7 . 设点分别为函数图象上一点，定义为两点间欧几里得距离，为两点间曼哈顿距离.
(1)证明；
(2)设函数，求的最小值；
(3)设为正实数，函数，对于函数图象上的点有的最小值为4，求的取值.