1 . 已知数列为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：；
(3)证明：．

2 . 相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，并根据小石子所排列的形状把数分成许多类．现有三角形数表按如图的方式构成，其中项数：第一行是以1为首项，2为公差的等差数列．从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数．

(1)求第3行和第4行的通项公式和；
(2)一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：①证明当时命题成立；②以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立．”完成这两个步骤就可以断定命题对开始的所有正整数都成立，这种方法即数学归纳法．请证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求关于的表达式；
(3)若，，试求一个等比数列，使得，且对于任意的，均存在实数，当时，都有．

3 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．
①求证：直线恒过x轴上一定点；
②设和的面积分别为，求的最大值．

4 . 已知函数在处的切线经过点.
(1)若函数至多有一个零点，求实数a的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，且，求证：.（）

5 . 已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在其定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围；
(3)若，且，证明：.

6 . 已知函数．
(1)当时，证明：；
(2)当时，若函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

7 . 设函数，其中．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，
（ⅰ）证明：函数恰有两个零点；
（ⅱ）设为函数的极值点，为函数的零点，且，证明：．

8 . 已知函数，为的导数.
（1）设函数，求的单调区间；
（2）若有两个极值点，
①求实数a的取值范围；
②证明：当时，.

9 . 已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）求的单调区间；
（2）若对恒成立，记，证明：．

10 . 已知，，函数.
（1）若函数在上有两个不同的零点，求的取值范围；
（2）求证：当时，.