1 . 已知函数的最大值为.
（1）若关于的方程的两个实数根为，求证：；
（2）当时，证明函数在函数的最小零点处取得极小值.

2 . 已知函数的定义域为且满足，当时，.
（1）判断在上的单调性并加以证明；
（2）若方程有实数根，则称为函数的一个不动点，设正数为函数的一个不动点，且，求的取值范围.

3 . 已知函数f（x）＝2lnx﹣2mx+x²（m＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当时，若函数f（x）的导函数f′（x）的图象与x轴交于A，B两点，其横坐标分别为x₁，x₂（x₁＜x₂），线段AB的中点的横坐标为x₀，且x₁，x₂恰为函数h（x）＝lnx﹣cx²﹣bx的零点．求证（x₁﹣x₂）h'（x₀）≥+ln2．

4 . 已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当，时，若对于任意，都存在，使得，证明：.

5 . 已知定义域为的函数存在两个零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求证：.

6 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数存在极大值，且极大值为1，证明：.

7 . 已知.
(1)当时，判断函数在区间上的单调性；
(2)求证：曲线不存在两条互相平行且倾斜角为锐角的切线.

8 . 已知函数.
（1）求在上的最大值和最小值；
（2）设曲线与轴正半轴的交点为处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有.

9 . 已知函数.
（1）若在点处的切线方程为，求，的值；
（2）若，是函数的两个极值点，求证：.

10 . 已知函数.
（1）令，求函数的单调区间；
（2）若，正实数满足，证明：.