1 . 如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知圆O：x²＋y²＝4，椭圆C：＋y²＝1，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D(－，0).设直线AB，AC的斜率分别为k₁，k₂.

(1) 求k₁k₂的值；
(2) 记直线PQ，BC的斜率分别为k_PQ，k_BC，是否存在常数λ，使得k_PQ＝λk_BC？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；
(3) 求证：直线AC必过点Q.

2 . 已知函数，其中．
(1)若，求证：当时，成立；
(2)若 ，判断函数的零点的个数．

3 . 设函数，其中和是实数，曲线恒与轴相切于坐标原点．
(1)求常数的值；
(2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：对于任意的正整数，不等式恒成立.

4 . 已知函数，在和处取得极值，且，曲线在处的切线与直线垂直．
(1)求的解析式；
(2)证明关于的方程至多只有两个实数根（其中是的导函数，是自然对数的底数）．

5 . 已知函数在处的切线方程为.
（1）求的单调区间与最小值；
（2）求证：.

6 . 已知函数为的导函数.
（Ⅰ）令求的单调区间；
（Ⅱ）证明：

7 . 已知点，直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知点，过且与轴不垂直的直线交于两点，直线分别交于点，求证：以为直径的圆必过定点.

8 . 函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若且满足：对，，都有，试比较与的大小，并证明.

9 . 已知函数.
（1）若不存在极值点，求的取值范围；
（2）若，证明：.

10 . 已知，内切于点是两圆公切线上异于的一点，直线切于点，切于点，且均不与重合，直线相交于点.
（1）求的轨迹的方程；
（2）若直线与轴不垂直，它与的另一个交点为，是点关于轴的对称点，求证：直线过定点.