1 . 出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事______发生（填“必然”、“可能”或“不可能”）.

2 . 引起分类讨论的主要原因有：①由数学概念引起的分类讨论；②由数学运算引起的分类讨论；③由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；④由图形的不确定性引起的分类讨论；⑤由参数的变化引起的分类讨论.含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，而对参数按什么标准进行分类是我们的难点，也是我们要重点掌握的问题.已知函数，规范讨论函数的单调性.

3 . 设有甲、乙两个盒子，均分别装有编号依次为1，2，3，…n（，且）的n个球，学生从甲盒子中随机选取个球，学生从乙盒子中随机选取个球，其中，且．
(1)若，且A在编号为1到m（m为给定的正整数，且）的球中选取，B在编号为到n的球中选取．记是编号为u的球和编号为v的球同时被选中的概率．
①若，求的值；
②求所有的的和；
(2)求学生取到的球的编号不相同的概率．

4 . 在如图所示的的方格纸上（每个小方格均为正方形），则下列正确的个数是（       ）

①图中共有675个不同的矩形
②有4种不同的颜色，给正方形ABCD中内4个小正方形涂色，要求有公共边的小正方形不同色，则不同的涂色方法共有84种
③如图一只蚂蚁沿小正方形的边从点A出发，经过点C，最后到点E，则蚂蚁可以选择的最短路径共168条

A．0

B．1

C．2

D．3

5 . 求从2开始的连续个正偶数的和．

6 . 某企业在十一黄金周期间进行促销活动，为了激励员工的积极性，企业决定对员工进行额外的奖励，公司根据以往产品的销售记录，绘制如图所示的日销量的频率分布直方图，其具体奖励规定如表所示：

销售量X个
奖励金额（元）	0	50	100	150

(1)求日销售量的平均数；
(2)求未来连续三天里，员工甲共获得奖励150元的概率；
(3)未来连续2天，员工乙共获得奖励X元，求随机变量X的分布列和数学期望．

7 . 下列说法正确的是（       ）

A．有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60．

B．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种

C．从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生，共有194种选法

D．把5封不同的信投入4个不同的信箱，每个信箱至少投1封，不同的投法共有种

8 . 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，其内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不断，在开区间内的导数为，那么在区间内存在点，使得成立．设，其中为自然对数的底数，．易知，在实数集上有唯一零点，且．

(1)证明：当时，；
(2)从图形上看，函数的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标．直接求解的零点是困难的，运用牛顿法，我们可以得到零点的近似解：先用二分法，可在中选定一个作为的初始近似值，使得，然后在点处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；在点处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列．
①当时，证明：；
②根据①的结论，运用数学归纳法可以证得：为递减数列，且．请以此为前提条件，证明：．

9 . 已知直线和椭圆．
(1)证明：与恒有两个交点；
(2)若为与的两个交点，过原点且垂直于的直线交于两点，求的最小值．

10 . 为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（       ）

A．26

B．25

C．24

D．23