名校
1 . 设
，函数
．
(1)判断
的零点个数，并证明你的结论；
(2)若
，记的一个零点为
，若
，求证：
．
，函数．(1)判断
的零点个数，并证明你的结论；(2)若
，记的一个零点为，若，求证：．
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2023-06-02更新
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529次组卷
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5卷引用：福建省福州第三中学2023届高三第二十次质量检测数学试题
福建省福州第三中学2023届高三第二十次质量检测数学试题四川天府新区太平中学2022-2023学年高二毕业班摸底测试（理科）（一）试题（已下线）第二章 函数的概念与性质 第十节 函数与方程（B素养提升卷）（已下线）第十节 函数与方程（B素养提升卷）安徽省皖东十校联盟2024届高三上学期第三次月考数学试题
解题方法
2 . 如图所示的五面体中，
是正方形，
是等腰梯形，且平面
平面，
为
的中点，
，
．
（1）求证：平面
平面
；
（2）
为线段
的中点，
在线段
上，记
，
是线段
上的动点． 当
为何值时，三棱锥
的体积为定值？证明此时二面角
为定值，并求出其余弦值．
是正方形，是等腰梯形，且平面平面，为的中点，，．（1）求证：平面
平面；（2）
为线段的中点，在线段上，记，是线段上的动点． 当为何值时，三棱锥的体积为定值？证明此时二面角为定值，并求出其余弦值．
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3 . 已知直线与抛物线交于两点.
（1）求证：若直线
过抛物线的焦点，则
；
（2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断.
（1）求证：若直线
过抛物线的焦点，则；（2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断.
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解题方法
4 . 在如图所示的六面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形ABEF是梯形，
，平面
平面ABEF，BE＝2AF=2，EF
.
（1）在图中作出平面ABCD与平面DEF的交线，并写出作图步骤，但不要求证明；
（2）求证：
平面DEF；
（3）求平面ABEF与平面ECD所成锐二面角的余弦值.
，平面平面ABEF，BE＝2AF=2，EF.（1）在图中作出平面ABCD与平面DEF的交线，并写出作图步骤，但不要求证明；
（2）求证：
平面DEF；（3）求平面ABEF与平面ECD所成锐二面角的余弦值.
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11-12高三·福建泉州·期末
名校
5 . 已知椭圆
的方程为：
，其焦点在
轴上，离心率
.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点
满足
，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为
，求证：
为定值.
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点
，使得
为定值？
若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.
的方程为：，其焦点在轴上，离心率.（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点
满足，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值.（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点
，使得为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.
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名校
6 . （1）设函数
，证明：
；
（2）若实数
满足
，求证：
．
，证明：；（2）若实数
满足，求证：．
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2018-05-17更新
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435次组卷
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9卷引用：2016届福建厦门外国语学校高三5月适应性数学（文）试卷
2016届福建厦门外国语学校高三5月适应性数学（文）试卷2015届陕西省宝鸡市九校高三联合检测理科数学试卷2015届陕西省宝鸡市九校高三联合检测文科数学试卷2016届湖北襄阳四中高三六月全真模拟一数学（文）试卷2020届宁夏六盘山高级中学高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题2016届河北省武邑中学高三下3.20周考文科数学试卷（已下线）2018年5月13日 每周一测——《每日一题》2017-2018学年高二文科数学人教选修4-5【全国百强校】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（五）数学（文）试题（已下线）2019年4月28日 《每日一题》文数选修4-5-每周一测
2011·辽宁沈阳·模拟预测
7 . 已知二次函数
和“伪二次函数”
（
、
、
），
（I）证明：只要
，无论取何值，函数
在定义域内不可能总为增函数；
（II）在二次函数图象上任意取不同两点
，线段
中点的横坐标为，记直线的斜率为
，
（i）求证：
；
（ii）对于“伪二次函数”
，是否有（i）同样的性质?证明你的结论.
和“伪二次函数”（、、），（I）证明：只要
，无论取何值，函数在定义域内不可能总为增函数；（II）在二次函数
图象上任意取不同两点，线段中点的横坐标为，记直线的斜率为， （i）求证：
；（ii）对于“伪二次函数”
，是否有（i）同样的性质?证明你的结论.
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2010·上海·二模
8 . 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知椭圆：
（
），其焦距为
，若
（
），则称椭圆为“黄金椭圆”．
（1）求证：在黄金椭圆：（）中，、、
成等比数列．
（2）黄金椭圆：（）的右焦点为
，为椭圆上的
任意一点．是否存在过点
、的直线，使与
轴的交点
满足
？若存在，求直线的斜率；若不存在，请说明理由．
（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆：（）的左、右
焦点分别是
、，以
、
、
、
为顶点的菱形
的内切圆过焦点
、．
试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．
已知椭圆
：（），其焦距为，若（），则称椭圆为“黄金椭圆”．（1）求证：在黄金椭圆
：（）中，、、成等比数列．（2）黄金椭圆
：（）的右焦点为，为椭圆上的任意一点．是否存在过点
、的直线，使与轴的交点满足？若存在，求直线的斜率；若不存在，请说明理由．（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆
：（）的左、右焦点分别是
、，以、、、为顶点的菱形的内切圆过焦点、．试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．
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名校
解题方法
9 . 某汽车厂商生产某型号具有自动驾驶功能的汽车，该型号汽车配备两个相互独立的自动驾驶系统（记为系统
和系统
），该型号汽车启动自动驾驶功能后，先启动这两个自动驾驶系统中的一个，若一个出现故障则自动切换到另一个系统.为了确定先启动哪一个系统，进行如下试验：每一轮对系统和分别进行测试试验，一轮的测试结果得出后，再安排下一轮试验.当一个系统出现故障的次数比另一个系统少2次时，就停止试验，并认为出现故障少的系统比另一个系统更稳定.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若系统不出现故障且系统出现故障，则系统得1分，系统得-1分；若系统出现故障且系统不出现故障，则系统得-1分，系统得1分；若两个系统都不出现故障或都出现故障，则两个系统均得0分.系统
出现故障的概率分别记为
和
，一轮试验中系统的得分为
分.
(1)求的分布列；
(2)若系统和在试验开始时都赋予2分，
表示“系统的累计得分为
时，最终认为系统比系统更稳定”的概率，则
，
，其中
.现根据
的值来决定该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动哪个系统，若
，则先启动系统；若
，则先启动系统；若
，则随机启动两个系统中的一个，且先启动系统的概率为.
①证明：
；
②若
，由①可求得
，求该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统的概率.
和系统），该型号汽车启动自动驾驶功能后，先启动这两个自动驾驶系统中的一个，若一个出现故障则自动切换到另一个系统.为了确定先启动哪一个系统，进行如下试验：每一轮对系统和分别进行测试试验，一轮的测试结果得出后，再安排下一轮试验.当一个系统出现故障的次数比另一个系统少2次时，就停止试验，并认为出现故障少的系统比另一个系统更稳定.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若系统不出现故障且系统出现故障，则系统得1分，系统得-1分；若系统出现故障且系统不出现故障，则系统得-1分，系统得1分；若两个系统都不出现故障或都出现故障，则两个系统均得0分.系统出现故障的概率分别记为和，一轮试验中系统的得分为分.(1)求
的分布列；(2)若系统
和在试验开始时都赋予2分，表示“系统的累计得分为时，最终认为系统比系统更稳定”的概率，则，，其中.现根据的值来决定该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动哪个系统，若，则先启动系统；若，则先启动系统；若，则随机启动两个系统中的一个，且先启动系统的概率为.①证明：
；②若
，由①可求得，求该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统的概率.
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2024-05-23更新
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563次组卷
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3卷引用：福建省漳州市2024届高三毕业班第四次教学质量检测数学试题
10 . 在平行四边形中，
，
，
.将
沿
翻折到
的位置，使得
.
平面
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得二面角
的余弦值为
?若存在，求出
的值;若不存在，请说明理由.
中，，，.将沿翻折到的位置，使得.
平面；(2)在线段
上是否存在点，使得二面角的余弦值为?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.
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