名校
解题方法
1 . 已知数列
满足
，
（
，
），
（1）证明数列
为等比数列，求出的通项公式；
（2）数列的前项和为
，求证：对任意，
.
满足，（，），（1）证明数列
为等比数列，求出的通项公式；（2）数列
的前项和为，求证：对任意，.
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2020-11-07更新
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1082次组卷
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9卷引用：【全国百强校】河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺（一）数学（理）试题
【全国百强校】河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺（一）数学（理）试题【市级联考】安徽省合肥市2019届高三下学期四月临考冲刺卷数学（理）试题湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中三校2020届高三下学期6月高考适应性考试理科数学试题宁夏银川一中2021届高三第三次月考数学（文）试题宁夏银川一中2021届高三第三次月考数学（理）试题湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题四川省南充市白塔中学2020-2021学年高一下学期第二次月考（6月）数学试题河南省周口市太康县第一高级中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学（文科）试题 河南省周口市太康县第一高级中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学（理科）试题
解题方法
2 . 已知
，
是椭圆T.
上的两点，且A点位于第一象限.过A作x轴的垂线，垂足为点C，点D满足
，延长
交T于点
.
（1）设直线
，的斜率分别为
，
.
（i）求证：
；
（ii）证明：
是直角三角形；
（2）求的面积的最大值.
，是椭圆T.上的两点，且A点位于第一象限.过A作x轴的垂线，垂足为点C，点D满足，延长交T于点.（1）设直线
，的斜率分别为，.（i）求证：
；（ii）证明：
是直角三角形；（2）求
的面积的最大值.
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3 . 已知在图1所示的梯形
中，
，
于点
，且
.将梯形沿
对折，使平面
平面
，如图2所示，连接
，取的中点
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）在线段上是否存在点
，使得直线
平面
？若存在，试确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；
（3）设
，求三棱锥
的体积.
中，，于点，且.将梯形沿对折，使平面平面，如图2所示，连接，取的中点.（1）求证：平面
平面；（2）在线段
上是否存在点，使得直线平面？若存在，试确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；（3）设
，求三棱锥的体积.
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2019-03-06更新
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534次组卷
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2卷引用：河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）文科数学试题
名校
4 . 已知函数
，其中
．
（Ⅰ）讨论
的单调性；
（Ⅱ）当
时，证明：
；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有
（其中e≈2.7183为自然对数的底数）
，其中．（Ⅰ）讨论
的单调性；（Ⅱ）当
时，证明：；（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有
（其中e≈2.7183为自然对数的底数）
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2019-01-12更新
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4101次组卷
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10卷引用：【全国百强校】河北省武邑中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学(文）试题
【全国百强校】河北省武邑中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学(文）试题黑龙江省大庆实验中学2019届高三普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟试题【区级联考】天津市蓟州等部分区2019届高三上学期期末联考数学（文）试题【区级联考】天津市部分区2019届高三（上）期末数学（文科）试题【全国百强校】四川省成都市成都外国语学校2018-2019学年高二下学期期中考试文科数学试题江西省五市八校2019-2020学年高三第二次联考文科数学试题湖北省武汉二中2019-2020学年高二下学期4月第二次线上测试数学试题四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题广东省佛山市三水区三水中学2019-2020学年高二下学期第二次统考数学试题
5 . 如图1，已知
中，
，点
在斜边上的射影为点
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）如图2，已知三棱锥
中，侧棱
，
，
两两互相垂直，点在底面内的射影为点.类比（Ⅰ）中的结论，猜想三棱锥中
与，，的关系，并证明.
中，，点在斜边上的射影为点.（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）如图2，已知三棱锥
中，侧棱，，两两互相垂直，点在底面内的射影为点.类比（Ⅰ）中的结论，猜想三棱锥中与，，的关系，并证明.
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2018-07-10更新
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540次组卷
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5卷引用：河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）文科数学试题
河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）文科数学试题【全国市级联考】安徽省蚌埠市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题【全国市级联考】安徽省蚌埠市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题【全国百强校】湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中2018-2019学年高二下学期优生联考数学试题（已下线）2.1.1 合情推理-2020-2021学年高二数学（理）课时同步练（人教A版选修2-2）
6 . 已知
的内角
，，
对应的边分别为
，
，
，三边互不相等，且满足
.
（1）比较
与
的大小，并证明你的结论；
（2）求证：不可能是钝角.
的内角，，对应的边分别为，，，三边互不相等，且满足.（1）比较
与的大小，并证明你的结论；（2）求证：
不可能是钝角.
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名校
7 . 已知函数
的最大值为
.
（1）若关于的方程
的两个实数根为
，求证：
；
（2）当
时，证明函数
在函数
的最小零点
处取得极小值.
的最大值为.（1）若关于
的方程的两个实数根为，求证：；（2）当
时，证明函数在函数的最小零点处取得极小值.
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2018-05-21更新
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1512次组卷
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4卷引用：河北衡水中学2018届高三数学理科三轮复习系列七-出神入化6
河北衡水中学2018届高三数学理科三轮复习系列七-出神入化6【全国市级联考】山西省太原市2018届高三第三次模拟考试理科数学试题浙江省杭州地区四校2018-2019学年高三上学期联考数学试题（已下线）专题13 导数法妙解极值、最值问题-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破
2014·北京石景山·一模
名校
解题方法
8 . 给定椭圆
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
的距离为
.的方程和其“准圆”方程；
（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线
交“准圆”于点
.
①当点为“准圆”与
轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明
；
②求证：线段
的长为定值.
，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.
的方程和其“准圆”方程；（2）点
是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.①当点
为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；②求证：线段
的长为定值.
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2016-12-02更新
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1798次组卷
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8卷引用：河北省衡水中学2017届高三高考猜题卷（一）数学（理）试题
河北省衡水中学2017届高三高考猜题卷（一）数学（理）试题（已下线）2014届北京市石景山区高三一模理科数学试卷（已下线）2014届甘肃省兰州一中高考模拟四理科数学试卷（已下线）2014届甘肃省兰州一中高考模拟四文科数学试卷2015-2016学年河北省石家庄一中高二下期中文科数学试卷山西省大同市第一中学2019-2020学年高三下学期模拟（六）数学（理）试题北京一零一中学2023届高三下学期开学考数学试题（已下线）微专题07 直线与圆锥曲线的相切问题
9 . 如图，
中，
是
的中点，
，
．将
沿
折起，使
点与图中
点重合．
（1）求证：
平面
；
（2）当三棱锥
的体积取最大时，求二面角
的余弦值；
（3）在（2）条件下，试问在线段
上是否存在一点
，使
与平面
所成角的正弦值为
？证明你的结论．
中，是的中点，，．将沿折起，使点与图中点重合．（1）求证：
平面；（2）当三棱锥
的体积取最大时，求二面角的余弦值；（3）在（2）条件下，试问在线段
上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为？证明你的结论．
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2016-12-04更新
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330次组卷
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2卷引用：2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试一理科数学试卷
解题方法
10 . 在某项投资过程中，本金为
，进行了
次投资后，资金为
，每次投资的比例均为x（投入资金与该次投入前资金比值），投资利润率为r（所得利润与当次投入资金的比值，盈利为正，亏损为负）的概率为P，在实际问题中会有多种盈利可能（设有n种可能），记利润率为
的概率为
（其中
），其中
，由大数定律可知，当N足够大时，利润率是的次数为
．
(1)假设第1次投资后的利润率为
，投资后的资金记为
，求与的关系式；
(2)当N足够大时，证明：
（其中
）；
(3)将该理论运用到非赢即输的游戏中，记赢了的概率为
，其利润率为；输了的概率为
，其利润率为
，求
最大时x的值（用含有
的代数式表达，其中
）．
，进行了次投资后，资金为，每次投资的比例均为x（投入资金与该次投入前资金比值），投资利润率为r（所得利润与当次投入资金的比值，盈利为正，亏损为负）的概率为P，在实际问题中会有多种盈利可能（设有n种可能），记利润率为的概率为（其中），其中，由大数定律可知，当N足够大时，利润率是的次数为．(1)假设第1次投资后的利润率为
，投资后的资金记为，求与的关系式；(2)当N足够大时，证明：
（其中）；(3)将该理论运用到非赢即输的游戏中，记赢了的概率为
，其利润率为；输了的概率为，其利润率为，求最大时x的值（用含有的代数式表达，其中）．
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