4 . 设函数与的定义域均为，若存在，满足且，则称函数与“局部趋同”．
(1)判断函数与是否“局部趋同”，并说明理由；
(2)已知函数．求证：对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”；
(3)对于给定的实数，若存在实数，使得函数与“局部趋同”，求实数的取值范围．

5 . 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”．
(1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由：
(2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值；
(3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围．

7 . 已知为坐标原点，曲线：和曲线：有公共点，直线：与曲线的左支相交于A、B两点，线段的中点为M.
   
(1)若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程.
(2)若，直线经过点，且，求直线的方程.
(3)若直线：与曲线相交于C、D两点，且直线经过线段中点N，求证：.

8 . 数列满足为正整数.
(1)试确定实数的值，使得数列为等差数列；
(2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.

9 . 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求“共轭点对”中点所在直线的方程；
(3)设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于.

10 . 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”.
(1)若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围；
(2)若函数是定义在上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数的取值范围；
(3)若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数的取值范围.