1 . 已知椭圆的离心率为，点在上，为坐标原点．
(1)求的方程；
(2)已知直线与有两个交点，线段的中点为．
①证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．
②若，求面积的最大值，并求此时直线的方程．

2 . 已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆交于两点，的面积是，求的值.

3 . 已知的顶点，线段的中点为，且.
(1)求的值；
(2)求边上的中线所在直线的方程.

4 . 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．

5 . 如图，在直棱柱中，，延长AC至D，使，连接BD，，．
   
(1)求证：；
(2)求平面与平面ABC所成锐二面角的正切值．

6 . 甲、乙两人组成“坚毅队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
(1)求“坚毅队”在两轮活动中猜对4个谜语的概率.
(2)求“坚毅队”在两轮活动中至少猜对1个谜语的概率.

7 . 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，求直线与直线AC所成角的余弦值.
   

8 . 如图，在正方体中，求证
   

9 . 在长方体中，，，与交于点，点为中点.
   
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.

10 . 下表是某高校2017年至2021年的毕业生中，从事大学生村官工作的人数：

年份	2017	2018	2019	2020	2021
年份代码	1	2	3	4	5
（单位：人）	2	4	4	7	8

经过相关系数的计算和绘制散点图分析，我们发现与的线性相关程度很高.请建立关于的回归方程，并据此回归方程预测该校2023年的毕业生中，去从事大学生村官工作的人数.
附：.