高中数学综合库练习题及答案-北京高中数学-组卷网

2010·广东汕头·一模

解答题-证明题 | 较易(0.85) |

锥体体积的有关计算证明线面平行线面垂直证明线线垂直

名校

解题方法

几何体体积的求法证明线线、线面垂直的方法

1 . 如图，四棱锥

的底面是边长为1的正方形，侧棱

底面

，且

，E是侧棱

上的动点.

(1)求四棱锥

的体积;
(2)如果E是

的中点，求证:

平面

;
(3)是否不论点E在侧棱

的任何位置，都有

?证明你的结论.

2024-01-04更新 | 548次组卷 | 5卷引用：2017届北京市海淀区高三3月适应性考试（零模）文科数学试卷

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20-21高二上·北京顺义·期中

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

证明线面平行证明线面垂直面面角的向量求法

名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角证明线线、线面平行的方法

2 . 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABCD，

，

，F是BC的中点．

(1)求证：AD⊥平面PAC；
(2)试在线段PD上确定一点G，使

∥平面PAF，请指出点G在PD上的位置，并加以证明；
(3)求平面PAF与平面PCD夹角的余弦值．

2022-11-22更新 | 324次组卷 | 5卷引用：北京市顺义牛栏山第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题

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19-20高三上·北京东城·期中

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

证明线面平行面面角的向量求法空间线段点的存在性问题

名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角证明线线、线面平行的方法

3 . 如图，在三棱柱

中，

是正方形，

平面

，

.

(1)求证：

平面

；
(2)求二面角

的余弦值；
(3)证明：在线段

上存在点

，使得

，并求

的值.

2021-11-19更新 | 479次组卷 | 4卷引用：北京五十中分校2020届高三上学期期中数学试题

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19-20高三上·北京昌平·期末

解答题-证明题 | 较难(0.4) |

根据椭圆过的点求标准方程根据离心率求椭圆的标准方程求直线与椭圆的交点坐标椭圆中的定值问题

名校

解题方法

定值问题

4 . 已知椭圆

过点

，且离心率为

．设

，

为椭圆

的左、右顶点，

为椭圆上异于

，

的一点，直线

，

分别与直线

相交于

，

两点，且直线

与椭圆

交于另一点

．
(1)求椭圆

的标准方程；
(2)求证：直线

与

的斜率之积为定值；
(3)判断三点

，

是否共线：并证明你的结论．

2022-10-11更新 | 1662次组卷 | 9卷引用：【区级联考】北京市昌平区2019届高三第一学期期末数学（文）试题

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20-21高一·全国·单元测试

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

证明线面平行证明面面垂直

名校

解题方法

证明面面垂直的方法

5 . 如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧

所在平面垂直，M是

上异于C，D的点．

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)若P点是线段AM的中点，求证：MC∥平面PBD．

2021-11-15更新 | 597次组卷 | 7卷引用：北京师范大学附属实验中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题

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20-21高二上·北京顺义·期中

解答题-证明题 | 较难(0.4) |

综合法证明反证法证明集合新定义

名校

6 . 对于正整数集合A＝{a₁，a₂，…，a_n}（n∈N^*，n≥3），如果去掉其中任意一元素a_i（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“平衡集”．
（Ⅰ）判断集合Q＝{1，3，5，7，9}是否是“平衡集”并说明理由；
（Ⅱ）求证：若集合A是“平衡集”，则集合A中元素的奇偶性都相同；
（Ⅲ）证明：四元集合A＝{a₁，a₂，a₃，a₄}，其中，a₁＜a₂＜a₃＜a₄不可能是“平衡集”．

2021-10-24更新 | 279次组卷 | 2卷引用：北京市顺义牛栏山第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题

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19-20高二上·北京·期末

单选题 | 适中(0.65) |

零点存在性定理的应用求在曲线上一点处的切线方程（斜率）用导数判断或证明已知函数的单调性根据极值点求参数

解题方法

分类讨论法证明或求解函数的单调区间（含参）利用导数求解函数的极值

7 . 某同学解答一道导数题：“已知函数f(x)＝sinx，曲线y＝f(x)在点（0，0）处的切线为l．求证：直线l在点（0，0）处穿过函数f(x)的图象．”
该同学证明过程如下：
证明：因为f(x)＝sinx，
所以

．
所以

．
所以曲线y＝f(x)在点（0，0）处的切线方程为y＝x．
若想证直线l在点（0，0）处穿过函数f(x)的图象，
只需证g(x)＝f(x)﹣x＝sinx﹣x在x＝0两侧附近的函数值异号．
由于g'(x)＝cosx﹣1≤0，
所以g(x)在x＝0附近单调递减．
因为g（0）＝0，
所以g(x)在x＝0两侧附近的函数值异号．
也就是直线l在点（0，0）处穿过函数f(x)的图象．
参考该同学解答上述问题的过程，请你解答下面问题：
已知函数f(x)＝x³﹣ax²，曲线y＝f(x)在点P（1，f(1)）处的切线为l．若l在点P处穿过函数f(x)的图象，则a的值为（）

A．3

B．