1 . 证明：
(1)
(2)
(3)已知，，求证．

2 . 已知函数.
(1)求的定义域；
(2)判断并证明的奇偶性.

3 . 变分法是研究变元函数达到极值的必要条件和充要条件，欧拉、拉格朗日等数学家为其奠定了理论基础，其中“平缓函数”是变分法中的一个重要概念．设是定义域为的函数，如果对任意的均成立，则称是“平缓函数”．
(1)若．试判断和是否为“平缓函数”?并说明理由；（参考公式：①时，恒成立；②．）
(2)若函数是周期为2的“平缓函数”，证明：对定义域内任意的，均有；
(3)设为定义在上的函数，且存在正常数，使得函数为“平缓函数”．现定义数列满足：，试证明：对任意的正整数．
（参考公式：且时，．）

4 . 在中，内角、、的对边分别为、、，已知，．
(1)证明：；
(2)求当面积取得最大值时，的周长．

5 . 若函数对任意实数，都有，则称其为“保积函数”.现有一“保积函数”满足，且当时，.
(1)判断“保积函数”的奇偶性；
(2)若“保积函数”在区间上总有成立，试证明在区间上单调递增；
(3)在（2）成立的条件下，若，求，的解集.

6 . 如图所示，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，分别为的中点．

   

(1)求证：；
(2)若二面角的余弦值为，求：
①的长；
②直线与平面所成角的正弦值．

7 . 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，点M在椭圆E外，线段与E相交于P，满足，点T在线段上，，且.
(1)若点P的坐标为，证明：；
(2)求点T的轨迹C的方程；
(3)在曲线C上是否存在点N，使得的面积为，若存在，求的正切值，若不存在请说明理由.

8 . 在中.内角的对边分别为，且.
(1)证明：；
(2)若，求的面积的最大值.

9 . 已知的内角所对的边为，，，且．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．

10 . 已知在中，角的对边长分别是，．
(1)证明：；
(2)若，，求外接圆的面积．