1 . 证明：
(1)
(2)
(3)已知，，求证．

2 . 如图所示，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，分别为的中点．

   

(1)求证：；
(2)若二面角的余弦值为，求：
①的长；
②直线与平面所成角的正弦值．

3 . 在中，内角、、的对边分别为、、，已知，．
(1)证明：；
(2)求当面积取得最大值时，的周长．

4 . 若函数对任意实数，都有，则称其为“保积函数”.现有一“保积函数”满足，且当时，.
(1)判断“保积函数”的奇偶性；
(2)若“保积函数”在区间上总有成立，试证明在区间上单调递增；
(3)在（2）成立的条件下，若，求，的解集.

5 . 已知的内角所对的边为，，，且．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．

6 . 设向量，，．
(1)若与垂直，求的值；
(2)若，求证：∥．

7 . 如图，在正方体中，分别为的中点.

   

(1)求证：平面；
(2)若正方体的棱长为4，求二面角的正弦值.

8 . 中，内角、、的对边分别为、、，．
(1)若，．求证：；
(2)若为边的中点，且的面积为，求长的最小值．

9 . 已知在中，角的对边长分别是，．
(1)证明：；
(2)若，，求外接圆的面积．

10 . 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.