2020高三·全国·专题练习
1 . 在一块顶角为
、腰长为
的等腰三角形厚钢板废料
中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？
、腰长为的等腰三角形厚钢板废料中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？
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名校
解题方法
2 . 某地计划在一处海滩建造一个养殖场．
（1）如图（a）所示，射线
、
为海岸线，
，用长度为
的围网
依托海岸线围成一个
的养殖场，问如何选取点P、Q，才能使养殖场的面积最大，并求最大面积．
（2）如图（b所示，直线l为海岸线，现用长度为的围网依托海岸线围成一个养殖场．
方案一：围成三角形（点A、B在直线l上），使三角形面积最大，设其为
；
方案二：围成弓形
（点D、E在直线l上，C是优弧
所在圆的圆心且
），面积为
．
试求出的最大值和（均精确到
），并指出哪一种设计方案更好．
（1）如图（a）所示，射线
、为海岸线，，用长度为的围网依托海岸线围成一个的养殖场，问如何选取点P、Q，才能使养殖场的面积最大，并求最大面积．（2）如图（b所示，直线l为海岸线，现用长度为
的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形
（点A、B在直线l上），使三角形面积最大，设其为；方案二：围成弓形
（点D、E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且），面积为．试求出
的最大值和（均精确到），并指出哪一种设计方案更好．
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2021-03-23更新
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172次组卷
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4卷引用：沪教版(2020) 必修第二册 高效课堂 第六章 三角 6.4 复习与小结（1）
名校
3 . 有一个半径为
，圆心角
的扇形铁皮OMN，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形.
方案1：如图1，裁剪出的矩形
的顶点
在线段
上，点
在弧
上，点D在线段OM上；
方案2：如图2，裁剪出的矩形
的顶点
分别在线段
上，顶点
在弧上，并且满足
，其中点
为弧的中点.
(1)按照方案1裁剪，设
，用
表示矩形的面积，并求出其最大面积；
(2)按照方案2裁剪，求矩形PQRS的最大面积，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形.
，圆心角的扇形铁皮OMN，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形.方案1：如图1，裁剪出的矩形
的顶点在线段上，点在弧上，点D在线段OM上；方案2：如图2，裁剪出的矩形
的顶点分别在线段上，顶点在弧上，并且满足，其中点为弧的中点.(1)按照方案1裁剪，设
，用表示矩形的面积，并求出其最大面积；(2)按照方案2裁剪，求矩形PQRS的最大面积，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形.
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2022-04-24更新
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409次组卷
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4卷引用：江苏省常州市教育学会学业水平监测2020-2021学年高一下学期期中数学试题
名校
4 . 已知有半径为1，圆心角为a（其中a为给定的锐角）的扇形铁皮OMN，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形.
方案1：如图1，裁剪出的矩形ABCD的顶点A，B在线段ON上，点C在弧MN上，点D在线段OM上；
方案2：如图2，裁剪出的矩形PQRS的顶点P，S分别在线段OM，ON上，顶点Q，R在弧MN上，并且满足PQ∥RS∥OE，其中点E为弧MN的中点.
(1)按照方案1裁剪，设∠NOC =，用表示矩形ABCD的面积S1，并证明S1的最大值为
；
(2)按照方案2裁剪，求矩形PQRS的面积S2的最大值，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形.
方案1：如图1，裁剪出的矩形ABCD的顶点A，B在线段ON上，点C在弧MN上，点D在线段OM上；
方案2：如图2，裁剪出的矩形PQRS的顶点P，S分别在线段OM，ON上，顶点Q，R在弧MN上，并且满足PQ∥RS∥OE，其中点E为弧MN的中点.
(1)按照方案1裁剪，设∠NOC =
，用表示矩形ABCD的面积S1，并证明S1的最大值为；(2)按照方案2裁剪，求矩形PQRS的面积S2的最大值，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形.
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名校
5 . 党的十九大报告指出，农业农村农民问题是关系国计民生的根本性问题，必须始终把解决好“三农”问题作为全党工作的重中之重，实施乡村振兴战略.如图，A村､B村分别位于某河流的南､北两岸，
公里，
，现需将A村的农产品运往B村加工.乡政府经过调研知，在每次运输农产品总量相同的条件下，公路运输价格为a元/公里，水路运输价格为
元/公里.
（1）给出两种运输方案：第一种，直接从A村通过水路运输到B村；第二种，先从A村通过公路运输到与B村相对的南岸近岸处C，再通过水路运输到B村.试比较两种方案，哪种方案更优？
（2）为尽可能节约成本，乡政府决定在该河流南岸
上选择一个中转站D，先将A村的农产品通过公路运往中转站D，再将农产品通过水路运往B村加工.试问：中转站应选址何处最佳？请说明你的理由.
公里，，现需将A村的农产品运往B村加工.乡政府经过调研知，在每次运输农产品总量相同的条件下，公路运输价格为a元/公里，水路运输价格为元/公里.（1）给出两种运输方案：第一种，直接从A村通过水路运输到B村；第二种，先从A村通过公路运输到与B村相对的南岸近岸处C，再通过水路运输到B村.试比较两种方案，哪种方案更优？
（2）为尽可能节约成本，乡政府决定在该河流南岸
上选择一个中转站D，先将A村的农产品通过公路运往中转站D，再将农产品通过水路运往B村加工.试问：中转站应选址何处最佳？请说明你的理由.
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2021-07-15更新
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376次组卷
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3卷引用：湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题
6 . 如图1，有一块半径为2（单位：
）的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底
是半圆的直径，上底
的端点在圆周上.为了求出等腰梯形的周长
（单位：）的最大值，小明和小亮两位同学分别给出了如下两种方案：
(1)小明的方案：设梯形的腰长为
（单位：），请你帮他求与之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值；
(2)小亮的方案：如图2，连接，设
，请你帮他求与之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值.
）的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上.为了求出等腰梯形的周长（单位：）的最大值，小明和小亮两位同学分别给出了如下两种方案：(1)小明的方案：设梯形的腰长为
（单位：），请你帮他求与之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值；(2)小亮的方案：如图2，连接
，设，请你帮他求与之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值.
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7 . 天文学家设计了一种方案可以测定流星的高度．如图，将地球看成一个球
，半径为
，两个观察者在地球上
，
两地同时观察到一颗流星
，仰角分别是
和
（
，
表示当地的地平线），由平面几何相关知识，
，
，
，设弧长为
，
，
，则流星高度为______ ．（流星高度为
减去地球半径，结果用表示）
，半径为，两个观察者在地球上，两地同时观察到一颗流星，仰角分别是和（，表示当地的地平线），由平面几何相关知识，，，，设弧长为，，，则流星高度为减去地球半径，结果用表示）
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8 . 小明设计如下的方案测二面角大小：如图，设斜坡面与水平面的交线为
，小明分别在水平面和斜坡面选取两点，且
到直线的距离
到直线的距离
，则二面角
的大小为______ ．
与水平面的交线为，小明分别在水平面和斜坡面选取两点，且到直线的距离到直线的距离，则二面角的大小为
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名校
9 . 为了丰富市民业余生活，推进美丽阜阳建设，市政府计划将一圆心角为
，半径为
米的扇形空地
如图
改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和绿地两部分组成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地，城建部门给出以下两种方案：
方案
让矩形的一个端点位于
上，其余端点位于，上．
方案
让矩形的两个端点位于上，其余端点位于，上．
请你先选择一种方案，并根据此方案求出活动场地面积的最大值．
，半径为米的扇形空地如图改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和绿地两部分组成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地，城建部门给出以下两种方案：方案
让矩形的一个端点位于上，其余端点位于，上．方案
让矩形的两个端点位于上，其余端点位于，上．请你先选择一种方案，并根据此方案求出活动场地面积的最大值．
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名校
解题方法
10 . 在半径为的半圆形空地上，某小区准备设计三个矩形地块栽种一种花草，三个扇形
，
，
的圆心角均为，且矩形的地块具有对称性，按如图所示的方案，矩形分别内接于对应的扇形，分别求扇形和内接矩形的最大值.
的半圆形空地上，某小区准备设计三个矩形地块栽种一种花草，三个扇形，，的圆心角均为，且矩形的地块具有对称性，按如图所示的方案，矩形分别内接于对应的扇形，分别求扇形和内接矩形的最大值.
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