名校
解题方法
1 . 2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有
的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为
.
(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且
，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；
(2)若一条信息有
种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为
，
，…，
，则称
（其中
）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵
；
(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为
（
，2，3，⋯，
，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.
参考公式：
时，
，
.
的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为.(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且
，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；(2)若一条信息有
种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵；(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为
（，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.参考公式：
时，，.
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2024-03-04更新
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1780次组卷
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4卷引用：第2套 重组模拟卷（模块二 2月开学）
（已下线）第2套 重组模拟卷（模块二 2月开学）湖北省襄阳市第五中学2024届高三第二次适应性测试数学试题湖南省新高考十八校联盟2024届高三下学期3月月考数学试题（已下线）专题09 计数原理与随机变量及分布列（讲义）
解题方法
2 . 我们常用的数是十进制数，如
，表示十进制的数要用10个数码．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数
，等于十进制的数13．把m位n进制中的最大数记为
，其中m，
，为十进制的数，则下列结论中正确的是（ ）
，表示十进制的数要用10个数码．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13．把m位n进制中的最大数记为，其中m，，为十进制的数，则下列结论中正确的是（ ）A． |
B． |
C． |
D． |
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名校
3 . 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……
，…，那么
时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态
，即
．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为
，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为
一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示．
时，最终欠债 A元（可以记为该赌徒手中有 
元）概率为 
，请回答下列问题：
(1)请直接写出
与
的数值．
(2)证明
是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当
时，分别计算
时，
的数值，论述当B持续增大时，的统计含义．
，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为
，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示．
时，，请回答下列问题：(1)请直接写出
与的数值．(2)证明
是一个等差数列，并写出公差d．(3)当
时，分别计算时，的数值，论述当B持续增大时，的统计含义．
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2024-04-17更新
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1183次组卷
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3卷引用：江西省南昌市第十九中学2024届高三下学期第四次模拟考试数学试卷
江西省南昌市第十九中学2024届高三下学期第四次模拟考试数学试卷辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（已下线）专题03 第七章 随机变量及其分布列--高二期末考点大串讲（人教A版2019）
解题方法
4 . 设
，
.如果存在
使得
，那么就说
可被
整除（或整除），记做
且称是的倍数，是的约数（也可称为除数、因数）．不能被整除就记做
．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若，
，则
；②，互质，若，，则
；③若
，则
，其中
.
(1)若数列
满足，
，其前项和为
，证明：
；
(2)若为奇数，求证：
能被
整除；
(3)对于整数与
，
，求证：
可整除
.
，.如果存在使得，那么就说可被整除（或整除），记做且称是的倍数，是的约数（也可称为除数、因数）．不能被整除就记做．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若，，则；②，互质，若，，则；③若，则，其中.(1)若数列
满足，，其前项和为，证明：；(2)若
为奇数，求证：能被整除；(3)对于整数
与，，求证：可整除.
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解题方法
5 . 对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an＝an+1﹣an（n∈N*），规定{△2an}为{an}的二阶差分数列，其中△2an＝△an+1﹣△an（n∈N*）.
（1）数列{an}的通项公式
（n∈N*），试判断{△an}，{△2an}是否为等差数列，请说明理由？
（2）数列{bn}是公比为q的正项等比数列，且q≥2，对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得△2bn＝bm，求q所有可能的取值构成的集合；
（3）各项均为正数的数列{cn}的前n项和为Sn，且△2cn＝0，对满足m+n＝2k，m≠n的任意正整数m、n、k，都有cm≠cn，且不等式Sm+Sn＞tSk恒成立，求实数t的最大值.
（1）数列{an}的通项公式
（n∈N*），试判断{△an}，{△2an}是否为等差数列，请说明理由？（2）数列{bn}是公比为q的正项等比数列，且q≥2，对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得△2bn＝bm，求q所有可能的取值构成的集合；
（3）各项均为正数的数列{cn}的前n项和为Sn，且△2cn＝0，对满足m+n＝2k，m≠n的任意正整数m、n、k，都有cm≠cn，且不等式Sm+Sn＞tSk恒成立，求实数t的最大值.
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2020-07-25更新
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944次组卷
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4卷引用：2020届江苏省扬州市高三下学期5月调研测试数学试题
2020届江苏省扬州市高三下学期5月调研测试数学试题江苏省扬州市2020届高三（5月份）高考数学模拟试题2024届高三新高考改革数学适应性练习（九省联考题型）（已下线）专题18 数列中的创新题的解法 微点2 数列中的创新题综合训练
解题方法
6 . 设数列
的首项为1，前n项和为，若对任意的
，均有
（k是常数且
）成立，则称数列为“
数列”．
(1)若数列为“
数列”，求数列的通项公式；
(2)是否存在数列既是“数列”，也是“
数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由；
(3)若数列为“
数列”，
，设
，证明：
．
的首项为1，前n项和为，若对任意的，均有（k是常数且）成立，则称数列为“数列”．(1)若数列
为“数列”，求数列的通项公式；(2)是否存在数列
既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由；(3)若数列
为“数列”，，设，证明：．
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2018-03-06更新
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1864次组卷
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6卷引用：江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考数学调研测试试题
江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考数学调研测试试题【市级联考】江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末考试考前模拟数学试题江苏省南师附中等四校2018届高三期初联考数学试题（已下线）《2018届优等生百日闯关系列》【江苏版】专题二 第六关 以新定义数列为背景的解答题（已下线）专题20 与数列有关的恒成立问题-2018年高考数学（理）母题题源系列（江苏专版）（已下线）专题16 数列新定义题的解法 微点1 数列新定义题的解法（一）
名校
7 . “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：
，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列
为“斐波那契”数列，为数列的前项和，则
，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，则（Ⅰ）
，则
表示）
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2017-02-21更新
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2235次组卷
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2卷引用：2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考数学（理）试卷
8 . 莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用
作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：
（为的质因数个数，
为质数，
，
），例如：
，对应
，
，
，
，
，
，
.现对任意
，定义莫比乌斯函数
.
(1)求
，
；
(2)已知
，记（为的质因数个数，为质数，，）的所有因数从小到大依次为
，
，…，
.
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）求
的值（用
（）表示）.
作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，，），例如：，对应，，，，，，.现对任意，定义莫比乌斯函数.(1)求
，；(2)已知
，记（为的质因数个数，为质数，，）的所有因数从小到大依次为，，…，.（ⅰ）证明：
；（ⅱ）求
的值（用（）表示）.
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9 . 若集合
的非空子集满足：对任意给定的
，若
，有
，则称子集是的“好子集”.记
为的好子集的个数.例如：
的7个非空子集中只有
不是好子集，即
.记
表示集合的元素个数.
(1)求
的值；
(2)若是的好子集，且
.证明：中元素可以排成一个等差数列；
(3)求
的值.
的非空子集满足：对任意给定的，若，有，则称子集是的“好子集”.记为的好子集的个数.例如：的7个非空子集中只有不是好子集，即.记表示集合的元素个数.(1)求
的值；(2)若
是的好子集，且.证明：中元素可以排成一个等差数列；(3)求
的值.
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10 . 古希腊著名的约瑟夫环问题讲的是：共有127个士兵，围成一个环，从一号位的士兵开始，每个存活下来的人依次杀死相邻的下一位士兵，若一名叫做约瑟夫的士兵想要存活到最后，那么他最开始应当站在几号位上？（ ）
| A．1 | B．63 | C．127 | D．31 |
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