1 . 已知数列的前项和为，且满足，若数列的前项和满足恒成立，则实数的取值范围为________．

2 . 已知是等差数列的前项和，若，则数列的前2024项和为________.

3 . 已知数列均为正项，且是等差数列，，则__________.

4 . 在数列中，，则______.

5 . 已知数列的前项和为.当时，的最小值是______.

6 . 已知等比数列的前项和为，数列的前项和为．若，则__________．

7 . 已知数满足，则数列的通项公式_____________．

8 . 设为等差数列的前项和，且，，则_________.

9 . 已知等差数列的前项和为，若，则当最小时，的值为__________.

10 . 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为__________.
（参考数据：）