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解题方法
1 . 若正实数数列满足,则称是一个对数凸数列;若实数列满足,则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列,.
(1)证明:;
(2)若,证明:;
(3)若,,求的最大值.
(1)证明:;
(2)若,证明:;
(3)若,,求的最大值.
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2 . 已知函数.
(1)判断并证明的零点个数
(2)记在上的零点为,求证;
(i)是一个递减数列
(ii).
(1)判断并证明的零点个数
(2)记在上的零点为,求证;
(i)是一个递减数列
(ii).
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3 . 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒(Brook Taylor)发现的泰勒公式(又称夌克劳林公式)有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时,.其中,表示的二阶导数,即为的导数,表示的阶导数.
(1)根据公式估计的值;(结果保留两位有效数字)
(2)由公式可得:,当时,请比较与的大小,并给出证明;
(3)已知,证明:.
(1)根据公式估计的值;(结果保留两位有效数字)
(2)由公式可得:,当时,请比较与的大小,并给出证明;
(3)已知,证明:.
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4 . 对于数列,称为数列的一阶差分数列,其中.对正整数,称为数列的阶差分数列,其中已知数列的首项,且为的二阶差分数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设为数列的一阶差分数列,对,是否都有成立?并说明理由;(其中为组合数)
(3)对于(2)中的数列,令,其中.证明:.
(1)求数列的通项公式;
(2)设为数列的一阶差分数列,对,是否都有成立?并说明理由;(其中为组合数)
(3)对于(2)中的数列,令,其中.证明:.
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解题方法
5 . 有一个益智类的古堡探险闯关游戏,玩家每局都有甲、乙两座不同的古堡可供选择.已知某玩家古堡甲闯关成功的概率为,古堡乙闯关成功的概率为.若该玩家第一局选择古堡甲闯关的概率为,前一局选择了古堡甲闯关,则继续选择古堡甲闯关的概率为;前一局选择了古堡乙闯关,则继续选择古堡乙闯关的概率为.
(1)求该玩家第一局闯关成功的概率;
(2)记该玩家第局选择古堡甲闯关的概率为,第局闯关成功的概率为.
(i)求和的表达式;
(ii)当时,求证:.
(1)求该玩家第一局闯关成功的概率;
(2)记该玩家第局选择古堡甲闯关的概率为,第局闯关成功的概率为.
(i)求和的表达式;
(ii)当时,求证:.
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解题方法
6 . 有无穷多个首项均为1的等差数列,记第个等差数列的第项为,公差为.
(1)若,求的值;
(2)若为给定的值,且对任意有,证明:存在实数,满足,;
(3)若为等比数列,证明:.
(1)若,求的值;
(2)若为给定的值,且对任意有,证明:存在实数,满足,;
(3)若为等比数列,证明:.
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7 . 高斯是德国著名的数学家,近代数学的奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”定义为:对于任意实数x,记表示不超过x的最大整数,则称为“高斯函数”.例如:,.
(1)设,,求证:是的一个周期,且恒成立;
(2)已知数列的通项公式为,设.
①求证:;
②求的值.
(1)设,,求证:是的一个周期,且恒成立;
(2)已知数列的通项公式为,设.
①求证:;
②求的值.
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8 . 已知函数,其中.
(1)当时,,求的取值范围.
(2)若,证明:有三个零点,,(),且,,成等比数列.
(3)证明:().
(1)当时,,求的取值范围.
(2)若,证明:有三个零点,,(),且,,成等比数列.
(3)证明:().
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9 . 设,y是不超过x的最大整数,且记,当时,的位数记为例如:,,.
(1)当时,记由函数的图象,直线,以及x轴围成的平面图形的面积为,求,及;
(2)是否存在正数M,对,,若存在,请确定一个M的值,若不存在,请说明理由;
(3)当,时,证明:.
(1)当时,记由函数的图象,直线,以及x轴围成的平面图形的面积为,求,及;
(2)是否存在正数M,对,,若存在,请确定一个M的值,若不存在,请说明理由;
(3)当,时,证明:.
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解题方法
10 . 数列满足则称数列为下凸数列.
(1)证明:任意一个正项等比数列均为下凸数列;
(2)设,其中,分别是公比为,的两个正项等比数列,且,证明:是下凸数列且不是等比数列;
(3)若正项下凸数列的前项和为,且,求证:.
(1)证明:任意一个正项等比数列均为下凸数列;
(2)设,其中,分别是公比为,的两个正项等比数列,且,证明:是下凸数列且不是等比数列;
(3)若正项下凸数列的前项和为,且,求证:.
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