1 . 设正整数数列，，，满足，其中.如果存在，3，，，使得数列中任意项的算术平均值均为整数，则称为“阶平衡数列”
(1)判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？
(2)若为偶数，证明：数列，2，3，，不是“阶平衡数列”，其中
(3)如果，且对于任意，数列均为“阶平衡数列”，求数列中所有元素之和的最大值．

2 . 已知项数为的有限数列，若，则称为“数列”.
（1）判断数列3､4､2､5､1和2､3､4､5､1､6是否为数列，并说明理由；
（2）设数列中各项互不相同，且，，若也是数列，求有限数列的通项公式；
（3）已知数列是的一个排列，且，求的所有可能值.

3 . 若实数列满足条件，、、，则称是一个“凸数列”.
（1）判断数列和是否为“凸数列”?
（2）若是一个“凸数列”，证明：对正整数、、，当时，有；
（3）若是一个“凸数列”，证明：对，有.

4 . 已知点、、、（），都在函数（，）的图像上.
（1）若数列是等比数列，求证：数列是等差数列；
（2）当（）时，设过点、的直线与两坐标轴围成的三角形面积为，
①求出直线在两坐标轴上的截距；
②求数列最大项及其值，并说明理由；
（3）若数列是递增数列，数列满足：对任意，总可以找到，使得，则称是的“分隔数列”，若（），递增数列满足，是的前项和，若数列是的“分隔数列”，求实数与的取值范围.

5 . 已知函数，．
（Ⅰ）若，解不等式；
（Ⅱ）设是函数的四个不同的零点，问是否存在实数，使得其三个零点成等差数列？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．

6 . 已知正项数列的前项和为，且，.
（1）求，的值，并写出数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.

7 . 已知数列，记集合.
（1）对于数列，写出集合；
（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由.
（3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值.

8 . 若定义在上的函数满足：对于任意实数、，总有恒成立.我们称为“类余弦型”函数.
（1）已知为“类余弦型”函数，且，求和的值.
（2）在（1）的条件下，定义数列求的值.
（3）若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数，总有，证明：函数为偶函数；设有理数，满足，判断和的大小关系，并证明你的结论.

9 . 设数列的前项和为，，，数列满足：对于任意的，都有成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）设数列，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.

10 . 已知数列满足：，．
（1）求数列的通项公式；
（2）用适当的组合数形式表示，并求数列的前n项和；
（3）若，记数列的前n项和为，求．