1 . 已知各项均为正数的数列前项和为．已知，数列是公差为1的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，令，为数列的前项和，若，求的值．

2 . 设等差数列的前项和为且对任意都成立．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证：当时，．

3 . 对于数列，记，其中表示这个数中最大的数，并称数列是的“控制数列”，如数列的“控制数列”是.
（1）若各项均为正整数的数列的“控制数列”为，写出所有的；
（2）设.
（i）当时，证明：存在正整数，使得是等差数列；
（ii）当时，求的值(结果可含).

4 . 设数列，若存在公比为q的等比数列：，使得，其中，则称数列为数列的“等比分割数列”．
（1）写出数列：3，6，12，24的一个“等比分割数列”；
（2）若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，求数列的公比q的取值范围；
（3）若数列的通项公式为，且数列存在“等比分割数列”，求m的最大值．

5 . 已知数列，记集合.
（1）对于数列，写出集合；
（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由.
（3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值.

6 . 已知数列的前项和为，满足，，数列满足，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等差数列，求数列的通项公式；
（3）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围.

7 . 在数列{a_n}中，a₁＝3，且对任意的正整数n，都有a_n+1＝λa_n+2×3ⁿ，其中常数λ＞0．
（1）设b_n．当λ＝3时，求数列{b_n}的通项公式；
（2）若λ≠1且λ≠3，设c_n＝a_n，证明：数列{c_n}为等比数列；
（3）当λ＝4时，对任意的n∈N^*，都有a_n≥M，求实数M的最大值．

8 . 给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”．
（1）设是首项为，公比为的等比数列，，判断数列是否
与接近，并说明理由；
（2）设数列的前四项为：，，，，是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数；
（3）已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，，…，中至少有个为正数，求的取值范围．