1 . 求所有无穷正整数列
满足下列条件：
（1）
；
（2）不存在正整数（可以相同i、j、k）使
．
（3）有无穷多个正整数k，使
．
满足下列条件：（1）
；（2）不存在正整数（可以相同i、j、k）使
．（3）有无穷多个正整数k，使
．
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2 . 定义数列
，满足
，且
．
为前n项的平方和．求
的值．
，满足，且．为前n项的平方和．求的值．
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3 . 在一张无限大的方格表上的每个方格中填有一个实数．已知任意一个由格线构成的正方形中的数之和的绝对值不超过1．证明：任意一个由格线构成的矩形中的数之和的绝对值不超过4．
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4 . 设
、
是无穷复数数列，满足对任意正整数n，关于x的方程
的两个复根恰为
、
（当两根相等时
）．若数列
恒为常数，证明：
（1）
；
（2）数列恒为常数．
、是无穷复数数列，满足对任意正整数n，关于x的方程的两个复根恰为、（当两根相等时）．若数列恒为常数，证明：（1）
；（2）数列
恒为常数．
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解题方法
5 . 求证：对任意的
，都有
．
，都有．
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6 . 设数列满足
.求证：
.
满足.求证：.
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7 . 设
，复数
.求所有的
，使得
､
､
依次成等比数列.
，复数.求所有的，使得､､依次成等比数列.
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8 . 已知
.求证：
.
.求证：.
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解题方法
9 . 数列
满足
且
．证明：
其中无理数
．
满足且．证明：其中无理数．
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10 . 求证：对于正整数n，令
，数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（
表示不超过实数x的最大整数）．
，数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（表示不超过实数x的最大整数）．
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