1 . 如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点在线段上，且．

(1)探究在线段上是否存在点，使得平面，若存在，试证明你的结论；若不存在，请说明理由．
(2)设二面角的大小为，若，求直线与平面所成角的正弦值．

2 . 如图，直四棱柱的底面是边长为的菱形，且.

(1)证明：平面平面；
(2)若平面平面，求与平面所成角的正弦值.

3 . 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，平面，且，点在棱上，点为中点.

(1)证明：若，直线平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由.

5 . 如图1，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，沿DE把折起，得到如图2所示的四棱锥.

(1)证明：平面.
(2)若二面角的大小为60°，求平面与平面的夹角的大小.

6 . 如图，在四棱锥中，平面平面ACDE，是等边三角形，在直角梯形ACDE中，，，，，P是棱BD的中点．

（1）求证：平面BCD；
（2）设点M在线段AC上，若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为，求MP的长．

7 . 《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上.

（1）若P为的中点，求证：平面.
（2）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.

8 . 如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.

（1）求证：.
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
（3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

9 . 如图，在几何体中，，，，四边形为矩形，，，分别为，的中点.

（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.

10 . 如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，为的中点，平面平面，二面角的余弦值为，三棱锥的体积为．

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．