1 . 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．

(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.

2 . 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，，，．
   
(1)当点N为线段AD的中点时，求证：直线平面EFN；
(2)当点N在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围．

3 . 如图，在四棱锥中，平面平面ACDE，是等边三角形，在直角梯形ACDE中，，，，，P是棱BD的中点．

（1）求证：平面BCD；
（2）设点M在线段AC上，若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为，求MP的长．

4 . 《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上.

（1）若P为的中点，求证：平面.
（2）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.

5 . 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，，E为PC的中点．

证明：平面PAD；
求二面角的余弦值．

6 . 正方体中，沿平面将正方体分成两部分，其中一部分如图所示，过直线的平面与线段交于点.

（1）当与重合时，求证：；
（2）当平面平面时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

7 . 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，．

（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是．

8 . 三棱柱中，是直二面角，，，且，为的中点．

（Ⅰ）若是的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．