解题方法
1 . 柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设
，则
当且仅当
或存在一个数
，使得
时，等号成立.
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设P是棱长为
的正四面体
内的任意一点，点
到四个面的距离分别为
、
、
、
，求
的最小值；
(3)已知无穷正数数列
满足：①存在
，使得
；②对任意正整数
，均有
.求证：对任意
，
，恒有
.
，则当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立.(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设P是棱长为
的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值；(3)已知无穷正数数列
满足：①存在，使得；②对任意正整数，均有.求证：对任意，，恒有.
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名校
2 . 如图，已知三棱台
的体积为
，平面
平面
，
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，且
，
平面
；
(2)求点到面
的距离；
(3)在线段
上是否存在点
，使得二面角
的大小为
，若存在，求出
的长，若不存在，请说明理由.
的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，
平面；(2)求点
到面的距离；(3)在线段
上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
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2024-05-20更新
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1205次组卷
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2卷引用：河北省保定市曲阳县第一高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷
解题方法
3 . 已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率为
，过点
的动直线
交
于A，B两点，点
在
轴上方，且不与轴垂直，
的周长为
，直线
与交于另一点
，直线
与交于另一点
，点为椭圆的下顶点，如图①.为椭圆的上顶点时，将平面xOy沿轴折叠如图②，使平面
平面
，求异面直线
与
所成角的余弦值；
(2)若过
作
，垂足为
.
（i）证明:直线
过定点；
（ii）求
的最大值.
的左、右焦点分别为，离心率为，过点的动直线交于A，B两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图①.
为椭圆的上顶点时，将平面xOy沿轴折叠如图②，使平面平面，求异面直线与所成角的余弦值；(2)若过
作，垂足为.（i）证明:直线
过定点；（ii）求
的最大值.
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名校
解题方法
4 . 图，在三棱台中，是等边三角形，
，侧棱
平面
，点D是棱
的中点，点E是棱
上的动点（不含端点B）.
(1)证明:平面
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值的最小值.
中，是等边三角形，，侧棱平面，点D是棱的中点，点E是棱上的动点（不含端点B）. (1)证明:平面
平面；(2)求平面
与平面的夹角的余弦值的最小值.
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2023-10-10更新
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420次组卷
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7卷引用：河北省石家庄第十五中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
5 . 如图1，在直角梯形中，
，
，
，
是的中点，
与
交于
点，将
沿向上折起，得到图2的四棱锥
.
(1)证明：
平面
；(2)若
，求二面角
的正切值.
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6 . 如图，在平行四边形中，
，
，
，将
沿折起到
，满足
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若在线段上存在点，使得二面角
的大小为
，求此时
的长度．
中，，，，将沿折起到，满足． (1)求证：平面
平面；(2)若在线段
上存在点，使得二面角的大小为，求此时的长度．
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名校
解题方法
7 . 如图，在长方体
中，点
在平面
的射影为．
(1)证明：为
的垂心．
(2)若
，且点在平面的射影为点
，求三棱锥
的体积．
中，点在平面的射影为． (1)证明：
为的垂心．(2)若
，且点在平面的射影为点，求三棱锥的体积．
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2023-07-05更新
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474次组卷
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4卷引用：河北省保定市定州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题
名校
解题方法
8 . 如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠ABC=
，AB=AP=2，PA⊥底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点.
(1)若G是直线PC与平面AEF的交点，试确定
的值；
(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为
，求三棱锥C-EFG体积.
，AB=AP=2，PA⊥底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点.(1)若G是直线PC与平面AEF的交点，试确定
的值；(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为
，求三棱锥C-EFG体积.
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2023-02-05更新
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987次组卷
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2卷引用：河北省石家庄市2022-2023学年高二上学期11月期中数学试题
9 . 如图，直三棱柱的体积为4，点，分别为
，
的中点，
的面积为
．
(1)求点A到平面
的距离；
(2)
，平面
平面，求平面
与平面
所成角的余弦值．
的体积为4，点，分别为，的中点，的面积为．(1)求点A到平面
的距离；(2)
，平面平面，求平面与平面所成角的余弦值．
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2023-01-18更新
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844次组卷
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5卷引用：河北省定州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题
河北省定州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（已下线）模块四 专题5 暑期结束综合检测5（能力卷）（人教B）湖北省襄阳市宜城市第一中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题（已下线）高二上学期第一次月考解答题压轴题50题专练-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）湖北省宜昌市枝江市第一高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
名校
10 . 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，
分别是线段
的中点，二面角
为直二面角.
(1)求证：
平面
；
(2)若点为线段
上的动点（不包括端点），求锐二面角
的余弦值的取值范围.
中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，二面角为直二面角.(1)求证：
平面；(2)若点
为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
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2022-11-22更新
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1713次组卷
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10卷引用：河北省石家庄市辛集市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
河北省石家庄市辛集市2022-2023学年高二下学期期末数学试题山东省潍坊市五县市2022-2023学年高二上学期期中数学试题山东省淄博市沂源县第一中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题浙江省台州市书生中学2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题重庆市第一中学校2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题（已下线）高二数学下学期期中模拟试卷（第6章-第8章，含数列和导数）-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第二册)福建省莆田第二中学2023-2024学年高二上学期返校考试数学试题（已下线）第11讲 第一章 空间向量与立体几何 章末题型大总结（2）福建省福清西山学校2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题（已下线）期中真题必刷常考60题（22个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）
