解题方法
1 . 如图，在三棱锥
中，
，
，
的中点分别为
，点
在
上，
.
平面
；
(2)证明：平面
平面
；
(3)求二面角
的大小.
中，，，的中点分别为，点在上，.
平面；(2)证明：平面
平面；(3)求二面角
的大小.
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名校
解题方法
2 . 如图，在三棱锥中，
分别是侧棱
的中点，，
平面
.
平面
；
(2)如果
，且三棱锥
的体积为
，求二面角
的余弦值.
中，分别是侧棱的中点，，平面.
平面；(2)如果
，且三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
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2024-05-28更新
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1170次组卷
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3卷引用：河南省信阳市新县高级中学2024届高三4月适应性考试数学试题
名校
解题方法
3 . 如图，在多面体
中，平面
与平面
均为矩形且相互平行，
,设
.
平面；
(2)若多面体的体积为
：
（i）求
；
（ii）求平面
与平面
夹角的余弦值.
中，平面与平面均为矩形且相互平行，,设.
平面；(2)若多面体
的体积为：（i）求
；（ii）求平面
与平面夹角的余弦值.
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解题方法
4 . 球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用．球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离．
纬线，赤道以北叫做北纬．如图1，将地球看作球体，假设地球半径为
，球心为
，北纬
的纬线所形成的圆设为圆
，且
是圆的直径，球面被经过球心和点
，
的平面截得的圆设为圆，求圆中劣弧
的长度，并判断其是否是，两点间的球面距离（只需判断、无需证明）．
(2)如图2，点
，
在球心为
的球面上，且
不是球的直径，试问，两点间的球面距离所在的圆弧
是否与球心共面？若是，写出证明过程，并求出当
，
时，，两点间球面距离所在的圆弧与球心所形成的扇形
的面积；若不是，请说明理由．
纬线，赤道以北叫做北纬．如图1，将地球看作球体，假设地球半径为，球心为，北纬的纬线所形成的圆设为圆，且是圆的直径，球面被经过球心和点，的平面截得的圆设为圆，求圆中劣弧的长度，并判断其是否是，两点间的球面距离（只需判断、无需证明）．(2)如图2，点
，在球心为的球面上，且不是球的直径，试问，两点间的球面距离所在的圆弧是否与球心共面？若是，写出证明过程，并求出当，时，，两点间球面距离所在的圆弧与球心所形成的扇形的面积；若不是，请说明理由．
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名校
5 . 如图，在四棱锥
中，底面为正方形，
平面
与底面所成的角为
，
为
的中点．
平面
；
(2)若
为
的内心，求直线
与平面所成角的正弦值．
中，底面为正方形，平面与底面所成的角为，为的中点．
平面；(2)若
为的内心，求直线与平面所成角的正弦值．
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2024-04-08更新
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1950次组卷
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4卷引用：河南省郑州市宇华实验学校2024届高三下学期第三次模拟考试数学试题
河南省郑州市宇华实验学校2024届高三下学期第三次模拟考试数学试题山东省枣庄市2024届高三下学期3月模拟考试数学试题（已下线）第23题 立体几何大题（高三二轮每日一题） 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期4月期中检测数学试题
6 . 如图，在几何体
中，平面
平面，四边形为正方形，四边形
为平行四边形，四边形
为菱形，
为棱
的中点，点在棱
上，
平面
.
(1)证明
平面；
(2)求平面
与平面夹角的余弦值.
中，平面平面，四边形为正方形，四边形为平行四边形，四边形为菱形，为棱的中点，点在棱上，平面. (1)证明
平面；(2)求平面
与平面夹角的余弦值.
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2024-04-07更新
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1361次组卷
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2卷引用：湘豫名校联考2024年2月高三第一次模拟考试数学试题
名校
7 . 如图，三棱锥的平面展开图中，，
，
，
，为
的中点．
(1)在三棱锥中，证明：
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值．
的平面展开图中，，，，，为的中点．(1)在三棱锥
中，证明：；(2)求平面
与平面夹角的余弦值．
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2023-12-20更新
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1099次组卷
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4卷引用：河南省安阳市林州市第一中学2024届高三上学期期末数学试题
河南省安阳市林州市第一中学2024届高三上学期期末数学试题山东省潍坊市2024届高三上学期普通高中学科素养能力测评数学试题（已下线）2024年高考数学二轮复习测试卷（新高考Ⅱ卷专用）（已下线）专题13 空间向量的应用10种常见考法归类（2）
名校
解题方法
8 . 如图，在正四棱台
中，
，
，
，
为棱
，的中点，棱上存在一点，使得
平面
．
(1)求
；
(2)当正四棱台的体积最大时，证明：
平面．
中，，，，为棱，的中点，棱上存在一点，使得平面． (1)求
；(2)当正四棱台
的体积最大时，证明：平面．
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2023-06-11更新
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815次组卷
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3卷引用：2023届河南省创新发展联盟大联考仿真模拟预测数学（文科）试题
名校
解题方法
9 . 如图，在正四棱台中，，，，为棱，的中点，棱上存在一点，使得
平面．；
(2)当正四棱台的体积最大时，求
与平面所成角的正弦值．
中，，，，为棱，的中点，棱上存在一点，使得平面．
；(2)当正四棱台
的体积最大时，求与平面所成角的正弦值．
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2023-06-06更新
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1515次组卷
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6卷引用：河南省创新发展联盟大联考2023届高三预测数学（理科）试题
河南省创新发展联盟大联考2023届高三预测数学（理科）试题重庆市万州第二高级中学2023届高三下学期5月月考数学试题（已下线）第05讲 空间向量及其应用（练习）（已下线）重难点突破06 立体几何解答题最全归纳总结（九大题型）-1（已下线）专题6-3立体几何大题综合归类-2（已下线）FHgkyldyjsx12
名校
10 . 如图，在矩形中，点在边
上，且满足
，将
沿
向上翻折，使点
到点
的位置，构成四棱锥
.在线段
上，且
平面，试确定点的位置；
(2)若
，求锐二面角
的大小.
中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.
在线段上，且平面，试确定点的位置；(2)若
，求锐二面角的大小.
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2023-06-01更新
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2062次组卷
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6卷引用：河南省开封市等2地学校2022-2023学年高三下学期普高联考测评（六）理科数学试题
河南省开封市等2地学校2022-2023学年高三下学期普高联考测评（六）理科数学试题（已下线）专题15 立体几何解答题全归类（练习）四川省泸州市泸县泸县第五中学2022-2023学年高二下学期期末数学理科试题（已下线）第11讲 用空间向量研究距离、夹角问题11种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）新疆乌鲁木齐市第七十中学2023-2024学年高二上学期第一次阶段性质量诊断数学试题（已下线）专题03 空间向量求角度与距离10种题型归类-【巅峰课堂】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲练测（人教A版2019选择性必修第一册）
