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1 . 如图，已知三棱台
的体积为
，平面
平面
，
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，且
，
平面
；
(2)求点到面
的距离；
(3)在线段
上是否存在点
，使得二面角
的大小为
，若存在，求出
的长，若不存在，请说明理由.
的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，
平面；(2)求点
到面的距离；(3)在线段
上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
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1881次组卷
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4卷引用：浙江省绍兴市第一中学2024届高三下学期5月模拟数学试题
浙江省绍兴市第一中学2024届高三下学期5月模拟数学试题浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷河北省保定市曲阳县第一高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷（已下线）第六章：立体几何初步章末综合检测卷（新题型）-【帮课堂】（北师大版2019必修第二册）
23-24高一下·福建厦门·期中
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解题方法
2 . 如图（1），正三棱柱
，将其上底面ABC绕的中心逆时针旋转
，
，分别连接
得到如图（2）的八面体
，依次连接该八面体侧棱的中点分别为M，N，P，Q，R，S，
（ⅰ）求证：
共面；
（ⅱ）求多边形
的面积；
(2)求该八面体体积的最大值．
，将其上底面ABC绕的中心逆时针旋转，，分别连接得到如图（2）的八面体
，依次连接该八面体侧棱的中点分别为M，N，P，Q，R，S，（ⅰ）求证：
共面；（ⅱ）求多边形
的面积；(2)求该八面体体积的最大值．
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解题方法
3 . 已知平面
与平面
是空间中距离为1的两平行平面，
，
，且
，
和
的夹角为
.
的体积为定值；
(2)已知异于
、
两点的动点
，且
、
、、、均在半径为
的球面上.求点到直线的距离的取值范围.
与平面是空间中距离为1的两平行平面，，，且，和的夹角为.
的体积为定值；(2)已知异于
、两点的动点，且、、、、均在半径为的球面上.求点到直线的距离的取值范围.
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
4 . 正四棱锥
的外接球半径为R，内切球半径为r，求证：
的最小值为
．
的外接球半径为R，内切球半径为r，求证：的最小值为．
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5 . 人类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实．其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面
，这说明椭球完全包含在由平面
所围成的长方体内，其中
按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴．某椭球面与坐标面
的截痕是椭圆
.
(1)已知椭圆
在其上一点
处的切线方程为
．过椭圆
的左焦点
作直线
与椭圆相交于
两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点
，求
面积的最小值．
(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当
时，椭球面
围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积．
，这说明椭球完全包含在由平面所围成的长方体内，其中按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴．某椭球面与坐标面的截痕是椭圆.(1)已知椭圆
在其上一点处的切线方程为．过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点，求面积的最小值．(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当
时，椭球面围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积．
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6 . 如图，是半球
的直径，
，
是底面半圆弧
上的两个三等分点，是半球面上一点，且
.
的面积；
(2)证明：
平面
；
(3)若点在底面圆内的射影恰在
上，求直线
与平面
所成角的正弦值.
是半球的直径，，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且.
的面积；(2)证明：
平面；(3)若点
在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值.
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2024-04-07更新
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587次组卷
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2卷引用：湖南省衡阳市衡阳县第一中学2024届高三下学期4月月考数学试题
2024高三·全国·专题练习
7 . 如图，已知
的直角边
，点
是
从左到右的四等分点（非中点）.已知椭圆
所在的平面⊥平面
，且其左右顶点为
，左右焦点为，点在上.
(1)求三棱锥
体积的最大值；
(2)证明：二面角
不大于60°.
的直角边，点是从左到右的四等分点（非中点）.已知椭圆所在的平面⊥平面，且其左右顶点为，左右焦点为，点在上. (1)求三棱锥
体积的最大值；(2)证明：二面角
不大于60°.
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8 . 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：
.若
，则称
为空间向量
与
的叉乘，其中
，
，
为单位正交基底.以为坐标原点，分别以
的方向为
轴､
轴､
轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点.
(1)①若
，求
；
②证明：
.
(2)记
的面积为
，证明：
；
(3)问：
的几何意义表示以为底面､
为高的三棱锥体积的多少倍？
.若，则称为空间向量与的叉乘，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点.(1)①若
，求；②证明：
.(2)记
的面积为，证明：；(3)问：
的几何意义表示以为底面､为高的三棱锥体积的多少倍？
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2024-03-26更新
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546次组卷
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3卷引用：云南三校2024届高三高考备考实用性联考卷（七）数学试卷
9 . 已知正方形的边长为4，，分别为
，的中点，以
为棱将正方形折成如图所示的的二面角．
为的中点，在线段
上，且直线
与平面
所成的角为，求此时平面
与平面
的夹角的余弦值．
(2)在（1）的条件下，设
，
，
，且四面体
的体积为
，求
的值．
，分别为，的中点，以为棱将正方形折成如图所示的的二面角．
为的中点，在线段上，且直线与平面所成的角为，求此时平面与平面的夹角的余弦值．(2)在（1）的条件下，设
，，，且四面体的体积为，求的值．
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解题方法
10 . 如图所示，已知在四棱柱
中，所有的棱长均为2，侧面
底面
为
的中点，为棱
上的动点（含端点），过
三点的截面记为平面.使得
底面？请说明理由；
(2)当平面与平面所成二面角的余弦值为
时，试求平面截得四棱柱两部分几何体的体积之比（体积小的部分作比值的分子）.
中，所有的棱长均为2，侧面底面为的中点，为棱上的动点（含端点），过三点的截面记为平面.
使得底面？请说明理由；(2)当平面
与平面所成二面角的余弦值为时，试求平面截得四棱柱两部分几何体的体积之比（体积小的部分作比值的分子）.
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