解题方法
1 . 证明下列结论.
(1)已知
，试用综合法证明：
；
(2)已知
，且
，试用分析法证明：
．
(1)已知
，试用综合法证明：；(2)已知
，且，试用分析法证明：．
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2 . 已知等差数列
的首项为
，公差为
，前
项和为
．
(1)若对
，
为常数k，求k；
(2)若
，用数学归纳法证明：
．
的首项为，公差为，前项和为．(1)若对
，为常数k，求k；(2)若
，用数学归纳法证明：．
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名校
3 . 观察数列：①
；②正整数依次被4除所得余数构成的数列
；③
.
(1)对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列
，如果________________，对于一切正整数都满足___________________成立，则称数列是以
为周期的周期数列；
(2)若数列满足
，为的前项和，且
，求数列的周期，并求
；
(3)若数列的首项，
，且
，判断数列是否为周期数列，并证明你的结论．
；②正整数依次被4除所得余数构成的数列；③.(1)对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列
，如果________________，对于一切正整数都满足___________________成立，则称数列是以为周期的周期数列；(2)若数列
满足，为的前项和，且，求数列的周期，并求； (3)若数列
的首项，，且，判断数列是否为周期数列，并证明你的结论．
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4 . （1）四面体的四个平面将空间分成了几部分？
（2）正八面体的八个平面将空间分成了几部分？
（2）正八面体的八个平面将空间分成了几部分？
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5 . 已知函数
，其中
，证明：存在
，且
.
的根的实部全部大于0.
，其中，证明：存在，且.的根的实部全部大于0.
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6 . 设数列满足
，且对任意整数
是最小的不同于
的正整数，使得
与
互质，但不与
互质.证明：每个正整数都在中出现.
满足，且对任意整数是最小的不同于的正整数，使得与互质，但不与互质.证明：每个正整数都在中出现.
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名校
7 . 设
是四个正数.
(1)已知
，求证：
;
(2)已知
，求证：中至少有一个小于1.
是四个正数.(1)已知
，求证：;(2)已知
，求证：中至少有一个小于1.
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8 . 已知有限数列A：，
，…，
（
且
）各项均为整数，且满足
对任意
，3，…，N成立．记
．
(1)若
，
，求
能取到的最大值；
(2)若
，求证：
；
(3)若
（这里
是数列的项数），求证：数列A中存在
使得
．
，，…，（且）各项均为整数，且满足对任意，3，…，N成立．记．(1)若
，，求能取到的最大值；(2)若
，求证：；(3)若
（这里是数列的项数），求证：数列A中存在使得．
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2022高三·全国·专题练习
9 . 在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．
(1)已知动点
为圆
外一点，过引圆
的两条切线
、
，
、
为切点，若
，求动点的轨迹方程；
(2)若动点
为椭圆
外一点，过引椭圆
的两条切线
、
，
、
为切点，若
，求出动点的轨迹方程；
(3)在（2）问中若椭圆方程为
，其余条件都不变，那么动点的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．
(1)已知动点
为圆外一点，过引圆的两条切线、，、为切点，若，求动点的轨迹方程；(2)若动点
为椭圆外一点，过引椭圆的两条切线、，、为切点，若，求出动点的轨迹方程；(3)在（2）问中若椭圆方程为
，其余条件都不变，那么动点的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．
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名校
解题方法
10 . 已知在数列{an}中，
，且
对任意n∈N*恒成立．
(1)求证：
（n∈N*）；
(2)求证：
（n∈N*）．
，且对任意n∈N*恒成立．(1)求证：
（n∈N*）；(2)求证：
（n∈N*）．
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