1 . 已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，①方程有实数根；②函数的导数满足.
（1）判断函数是集合M中的元素，并说明理由；
（2）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意，都存在，使得等式成立.试用这一性质证明：方程有且只有一个实数根；
（3）对任意，且，求证：对于定义域中任意的，，，当，且时，.

2 . 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称具有性质．
(1)判断是否具有性质；
(2)若，且具有性质，求的值；
(3)若具有性质，求证：且当时，．

6 . 已知数集具有性质：对任意，与两数中至少有一个属于．
(1)分别判断数集与是否具有性质；
(2)求证：；
(3)给定正整数，求证：，，，组成等差数列．

8 . 给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．
(1)判断集合是否具有性质？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明．

9 . 设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.
(1)直接写出的所有自邻集；
(2)若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若，求证：.

10 . 已知自然数集，非空集合.若集合E满足：对任意，存在，使得，称集合E为集合A的一组m元基底.
(1)分别判断下列集合E是否为集合A的一组二元基底，并说明理由：
①；
②.
(2)若集合E是集合A的一组m元基底，证明：；
(3)若集合E为集合的一组m元基底，求m的最小值.