1 . 设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记．
（Ⅰ）当时，若，，求和的值；
（Ⅱ）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是偶数；当不同时，是奇数．求集合中元素个数的最大值；

2 . 对于集合，，,.集合中的元素个数记为.规定：若集合满足，则称集合具有性质．
（I）已知集合，，写出，的值；
（II）已知集合，为等比数列，，且公比为，证明：具有性质；
（III）已知均有性质，且，求的最小值.

3 . 已知非空有限实数集的所有非空子集依次记为……，集合中所有元素的平均值记为．将所有组成数组……，数组中所有数的平均值记为．
（1），求；（2）……，若……，求

4 . 已知集合，其中，．如果集合满足：对于任意的，都有，那么称集合具有性质．
（Ⅰ）写出一个具有性质的集合；
（Ⅱ）证明：对任意具有性质的集合，；
（Ⅲ）求具有性质的集合的个数．

5 . 已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是____________

6 . 已知，数列中的项均为不大于的正整数.表示中的个数.定义变换，将数列变成数列其中.
（Ⅰ）若，对数列，写出的值；
（Ⅱ）已知对任意的，存在中的项，使得.求证： 的充分必要条件为
（Ⅲ）若，对于数列，令，求证：

7 . 设集合其中均为整数}，则集合_____..

8 . 设非空集合满足：当时，有，给出如下四个命题：
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则或；
其中正确命题的序号为____________

9 . 符号表示不大于的最大整数（）,例如：
（1）已知，分别求两方程的解集；
（2）设方程的解集为,集合，若，求的取值范围.
（3）在（2）的条件下，集合，是否存在实数，，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

10 . 设集合,集合有个元素，且，若所有可能的的各个元素之和是，则的所有可能值为________.