4 . “角股猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明．“角股运算”指的是任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角股运算后，最后结果为1．我们记一个正整数经过次角股运算后首次得到1（若经过有限次角股运算均无法得到1，则记），以下说法有误的是（       ）

A．可看作一个定义域和值域均为的函数

B．在其定义域上不单调，有最小值，无最大值

C．对任意正整数，都有

D．是真命题，是假命题

5 . 设点在椭圆内，直线.
(1)求与的交点个数；
(2)设为上的动点，直线与相交于两点.给出下列命题：
①存在点，使得成等差数列；
②存在点，使得成等差数列；
③存在点，使得成等比数列；
请从以上三个命题中选择一个，证明该命题为假命题.
注：若选择多个命题分别作答，则按所做的第一个计分.

6 . 设，过斜率为的直线与曲线交于，两点（在第一象限，在第四象限）.
(1)若为中点，证明：；
(2)设点，若，证明：.

7 . （1）若四边形的对角线将四边形分成面积相等的两个三角形，证明：直线必平分对角线；
（2）写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？

8 . 设为实数，定义生成数列和其特征数列如下：
（i）；
（ii），其中.
(1)直接写出生成数列的前4项；
(2)判断以下三个命题的真假并说明理由；
①对任意实数，都有；
②对任意实数，都有；
③存在自然数和正整数，对任意自然数，有，其中为常数.
(3)从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为原数列的一个无穷递增子列.求证：对任意正实数生成数列存在无穷递增子列.

9 . 数列对任意，且，均存在正整数，满足.
(1)求可能值；
(2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由：
(3)若成立，求数列的通项公式.

10 . 下列命题中，真命题的序号是___________.
①已知函数满足，则函数：
②从分别标有的9个完全相同的小球中不放回地随机摸球2次，每次摸球1个，则摸到的2个球上的数字奇偶性相同的概率是；
③用数学归纳法证明“”，由到时，不等式左边应添加的项是；
④的二项展开式中，共有3个有理项.