1 . 设函数的表达式为.
(1)求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件；
(2)若，且，求实数的取值范围.

2 . 已知，为锐角，求证：“”是“”成立的充要条件．

3 . 已知函数.
(1)求的定义域；
(2)证明：在区间上存在最大值的充要条件是

4 . 如图，若点A，B，C互不重合，O是A，B，C三点所在平面上的任意一点，且，证明：A，B，C三点共线是的充要条件．
   

5 . 已知：如图，是平面的一条斜线，是在内的射影，直线在平面上．求证：当且仅当．
   

6 . 数列满足，称为数列的指数和.
(1)若，求所有可能的取值；
(2)求证：数列的指数和的充分必要条件是.

7 . 对于函数，若在其定义域内存在实数，t，使得成立，称是“t跃点”函数，并称是函数的“t跃点”．
(1)若函数，x∈R是“跃点”函数，求实数m的取值范围；
(2)若函数，x∈R，求证：“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件；
(3)是否同时存在实数m和正整数n使得函数在上有2021个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由．

8 . 设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.

9 . 设证明:的充要条件是.

10 . 对于定义域为R的函数，若函数是奇函数，则称为正弦奇函数.已知 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，.
（1）已知是正弦奇函数，证明：“为方程的解”的充要条件是“为方程的解”；
（2）若，求的值；
（3）证明：是奇函数.