1 . 已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为20，记．
(1)求a的值及函数的值域；
(2)证明：为定值；并求的值．

2 . 已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)用定义证明函数在上单调递增；
(3)解关于t的不等式，．

3 . 定义在上的偶函数，当时，.

(1)求函数在上的表达式，并在图中的直角坐标系中画出函数的大致图象；
(2)若有四个零点，求实数m的取值范围.

4 . 已知函数.
(1)求，的值；
(2)利用描点法直接在所给坐标系中作出的简图（不用列表）.

5 . 已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程有两个实根，其中一个实根在区间内，另一个实根在区间内，求实数的取值范围.

6 . 已知函数.
(1)求证：函数是上的奇函数；
(2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

7 . 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)作出函数的图象，并根据图象写出函数的单调增区间和减区间．

8 . 设函数，具有如下性质：
①定义域均为R；
②为奇函数，为偶函数；
③（常数e是自然对数的底数，…）．
利用上述性质，解决以下问题：
(1)求函数，的解析式；
(2)证明：对任意实数x，为定值，并求出这个定值；
(3)已知，记函数，的最小值为，求．

9 . 在2021年的全国两会上，“碳达峰”“碳中和”被首次写入政府工作报告，也进一步成为网络热词．为了减少自身消费的碳排放，节省燃料．经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）（）的数据关系：．
(1)王先生购买了一辆这种型号的汽车接送孩子上学，由于城市道路拥堵，每小时只能行驶，王先生家距离学校路程为，王先生早上开车送孩子到学校，晚上开车接回家，求王先生每天开车接送孩子的耗油量；
(2)周末，王先生开车带全家到周边游玩，经过一段长度为平坦的高速公路（匀速行驶），这辆车应以什么速度在这段高速公路行驶才能使总耗油量最少？

10 . 已知函数为奇函数．
(1)判断函数的单调性，并加以证明．
(2)若不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．