1 . 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于点（点在点的上方）．

(1)求证：直线的斜率乘积为定值；
(2)过点分别作椭圆的切线，设两切线交于点，证明：．

2 . 对于正实数a，b（），我们熟知基本不等式：，其中为a，b的几何平均数，为a，b的算术平均数.现定义a，b的对数平均数：.
(1)设，求证：，并证明；
(2)若不等式对任意正实数a，b（）恒成立，求正实数m的取值范围.

3 . 已知函数，．
（1）求函数的极大值；
（2）求证：；
（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．

4 . 已知函数，且函数在点处的切线为轴．
（1）当时，证明：；
（2）已知，，求证：．

5 . 已知函数．
（1）证明：；
（2）设，在上的极值点从小到大排列为，求证：时，．

6 . 已知.
（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；
（2）当，时，证明：函数只有一个零点；
（3）若的图像与轴交于，两点，中点为，求证：.

7 . 已知是函数的导函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设为函数的两个零点且，证明：．

8 . 如图所示，在中，是上的点，．

(1)若，求证：；
(2)若，求面积的最大值．

9 . 已知函数，函数在处存在极值.
(1)求在处切线方程；
(2)设为函数的最小值，求证：.

10 . 已知函数在处的切线方程为.
(1)设函数，求的单调区间；
(2)设为函数的最小值，求证：.