1 . 已知函数，.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）是否存在正数的值使得对任意 恒成立？证明你的结论.
（3）求证：在上有且仅有两个零点.

2 . 已知函数的图象在点处的切线为.
(1)求；
(2)求证：；
(3)已知，若对恒成立，求正实数的取值范围.

3 . 已知函数，其中.
（1）若，求的极值；
（2）证明：.

4 . 已知函数.
（1）当时，比较与1的大小；
（2）当时，若关于的方程有唯一实数根，求证.

5 . 已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）判断函数在区间上的单调性，并求最小值；
（2）设，证明：函数在区间上有唯一零点．

6 . 已知函数.
（1）若在点处的切线方程为，求的最小值；
（2）若，为函数图像上不同的两点，直线与轴相交于正半轴，求证：.

7 . 已知函数．
（1）讨论在上的单调性；
（2）若（且），求证．

8 . 已知函数（）.
（1）当时，证明：；
（2）若有且仅有两个零点，，求实数的取值范围，并证明.

9 . 一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗产生抗体情况，需要检验血液是否有抗体现有份血液样本每份样本取到的可能性均等有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果无抗体，则这k份的血液全无抗体，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果有抗体，为了明确这k份血液究竟哪几份有抗体就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验总次数为k+1次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且每份样本有抗体的概率均为．
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式样本需要检验的总次数为．若，求关于k的函数关系式，并证明．

10 . 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，证明：．