1 . 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质
(1)若函数具有性质，求：的值；
(2)设，求证：存在常数，使得具有性质；
(3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在存在零点.

2 . 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.
(1)计算的值；
(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明；
(3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.

3 . 某城市2023年1月1日的空气质量指数（简称AQI））与时间x（单位：小时）的关系满足下图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为103．当时，曲线是二次函数图像的部分；当时，曲线是函数图像的一部分．根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于100时，空气就属于污染状态．

(1)求当时，函数的表达式；
(2)该城市2023年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由．

4 . 已知，定义：表示不小于的最小整数，例如：，．
(1)若，求实数的取值范围：
(2)若，且，求实数的取值范围；
(3)设，，若对于任意的，，都有，求实数的取值范围．

6 . 若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的-增长函数.
(1)已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由；
(2)已知函数，且是区间上的-增长函数，求正整数的最小值；
(3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围.

7 . 我们把定义在上，且满足（其中常数，满足，，）的函数叫做似周期函数．
（1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称．求证：函数是偶函数；
（2）当，时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式；
（3）对于确定的且时，，试研究似周期函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由．

8 . 下列函数中，同时满足是奇函数，定义域和值域相同的函数是（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 对，，已知，且，则的值为__________.

10 . 对､.记函数的最大值为__________.