1 . 已知函数.
（1）若，且函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）令，且为偶函数，试判断的单调性，并加以证明.

2 . 已知二次函数和一次函数，其中且满足.
（1）证明：函数与的图象交于不同的两点A，B；
（2）若函数在上的最小值为9，最大值为21，试求的值；
（3）求线段AB在轴上的射影的长的取值范围.

3 . 已知函数．
（1）求证：是奇函数；
（2）已知关于t的不等式恒成立，求实数t的取值范围．

4 . 设，证明:函数在区间内单调递减的充要条件是.

5 . 已知函数f（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．
（1）求a，b的值；
（2）设g（x）=f（x）+log₄（4^x+1）-x²-1，证明：对任意实数k，函数y=g（x）的图象与直线y=-3x+k最多只有一个交点．

6 . 若函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质；反之，若不存在，则称函数不具有性质.
（Ⅰ）证明：函数具有性质，并求出对应的的值；
（Ⅱ）试分别探究形如①（）、②（且）、③（且）的函数，是否一定具有性质？并加以证明.
（Ⅲ）已知函数具有性质，求的取值范围；

7 . 已知函数.
(1)请用分段函数的形式表示，并写出单调区间（不需证明）
(2)若，求实数的取值范围.

8 . 已知函数
     （Ⅰ）证明：对定义域内的所有都成立.
     （Ⅱ）设函数，求的最小值 .

9 . 已知二次函数对任意实数x,都有,且当x∈[1,3)时,有成立.
(1)证明：f(2)=2；
(2)若f(−2)=0,求的表达式；
(3)在题(2)的条件下设,x∈[0,+∞),若g(x)图象上的点都位于直线y=的上方，求实数m的取值范围.

10 . （2011年苏州20）已知二次函数对于任意的实数，
都有成立，且为偶函数．
（1）证明：实数>0；               
（2）求实数a与b之间的关系；
（3）定义区间的长度为，问是否存在常数，使得函数在区间
的值域为，且的长度为？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.