1 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线，1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)求证：；
(2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.

2 . “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”，已知函数．
(1)证明：函数的图象关于点对称；
(2)若函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．

3 . 空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态．这些曲线在数学上称为悬链线．悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这些曲线对应的函数表达式可以为（其中a，b为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（       ）

A．若，则为偶函数

B．若，则函数的最小值为2

C．若，则函数的零点为0和

D．若为奇函数，且使成立，则a的最小值为

4 . 已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 已知函数且的图象经过．
(1)设函数，求的定义域；
(2)若，求的取值范围．

6 . 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：
①定义域均为，且在上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③（常数是自然对数的底数，）．
利用上述性质，解决以下问题：
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)证明：对任意实数，为定值；
(3)已知，记函数，的最小值为，求．

7 . 定义在D上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界．已知函数（）．
(1)若是奇函数，判断函数（）是否为有界函数，并说明理由；
(2)若函数在上是以为上界的函数，求实数m的取值范围．

8 . 函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有 ，则称函数具有性质.
(1)已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.求证：是偶函数；
(2)已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.

9 . 已知函数()，的最小正周期为.
（1）求的值域；
（2）方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数满足对任意，都存在，使成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

10 . 若函数为R上的奇函数，为R上的偶函数，(且)，.
（1）求，的解析式；
（2）若不等式对任意实数x成立，求实数m的取值范围；
（3）(且)，是否存在实数m使得在上的最大值为0，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由.