1 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.

2 . 已知函数.
(1)判断并用定义法证明函数的单调性；
(2)是否存在实数使函数为奇函数？

3 . 已知函数（且）．
(1)判断的单调性并用定义法证明；
(2)若，求在上的值域．

4 . 已知.
(1)求证的单调性；
(2)求证的单调性.

5 . 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求的解析式并判断函数的单调性（无需证明）；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围．

6 . 证明：函数的图象与的图象有且仅有一个公共点．

7 . 已知函数满足：
（1）求的值，并求函数的解析式；
（2）判断并用定义证明函数的单调性．

8 . 已知定义域为的函数，是奇函数.
（1）求，的值，并用定义证明其单调性；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.

9 . 已知函数
（1）若，且有零点，求实数的取值范围；
（2）若，求证：当时，在其定义域上是减函数；
（3）若，，不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.

10 . 设函数，对于任意给定的位自然数（其中是个位数字，是十位数字，），定义变换：. 并规定．记，，， ，．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）当时，证明：对于任意的位自然数均有；
（Ⅲ）如果，写出的所有可能取值.（只需写出结论）