1 . 已知函数．
(1)若有且仅有一个零点，求实数的取值范围；
(2)若，求证：．

2 . 已知函数．
(1)若恰有两个零点，求a的取值范围；
(2)若的两个零点分别为（），求证：．

4 . 已知函数．
(1)若，证明：在上单调递增；
(2)若恰有3个零点，求的取值范围．

5 . 已知定义在上的增函数，函数，．
(1)用定义证明函数是增函数，并判断其奇偶性；
(2)若，不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围；
(3)在（2）的条件下，函数有两个不同的零点，且，求实数a的取值范围．

6 . 已知函数有两个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)设，是g（x）的两个零点，证明：．

7 . 已知函数
(1)证明：曲线在点处的切线过定点；
(2)当时，若在时有两个零点，求实数的取值范围.

8 . 已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)若，证明：函数的极小值为0；
(2)若存在两条直线与曲线和曲线均相切，求的取值范围．

9 . 已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)设，且在上有2个零点，证明：．

10 . 对于函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的1个“跃点”．
(1)求证：函数在上是“1跃点”函数；
(2)若函数在上存在2个“1跃点”，求实数的取值范围；
(3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存在，请求出和满足的条件；若不存在，请说明理由．