1 . 已知函数（），.记表示，中的最小者，设函数（），若关于x的方程有3个不同的实数根，则实数m的取值范围为___________.

2 . 已知函数（且）．
(1)若，且，求的定义域；
(2)若，函数的定义域为，存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围．

3 . 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.
(1)若且，证明：函数必有局部对称点；
(2)若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围；
(3)若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围.

4 . 已知函数，若满足，则下列结论正确的是（       ）

A．若方程有三个不同的实根，则k的取值范围为

B．若方程有一个实根，则k的取值范围为

C．若，则M的取值范围为

D．若，则N的取值范围为

5 . 已知函数，则以下结论正确的是（       ）．

A．函数为增函数

B．

C．若在上恒成立，则的最小值为8

D．若关于的方程有三个不同的实根，则

6 . 已知为偶函数，为奇函数，且满足．
(1)求，；
(2)若，且方程有三个解，求实数的取值范围．

7 . 函数.
(1)若的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)当时，为定义域为R的奇函数，且时，，若关于x的方程恒有两个不同的实数根，求t的取值范围.

8 . 悬链线（Catenary）指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀，柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为，与之对应的函数称为双曲正弦函数，令.
(1)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
(2)把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，、、、、，设，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.

9 . 设函数和的定义域分别为和，若对，都存在个不同的实数，使（其中，），则称为的“重覆盖函数”．
(1)试判断是否为的“4重覆盖函数”？并说明理由；
(2)已知函数为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围.

10 . 已知函数，.
(1)判断并证明在上的单调性；
(2)当时，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若方程在上有个实数解，求实数的取值范围.