1 . 已知函数，其中.
（1）求证：；
（2）若函数为定义域上的增函数，求的取值范围；
（3）若函数在上有两个零点，，求参数的取值范围，并证明：.

2 . 已知函数．
(1)当时，求证：在上是增函数；
(2)若在区间上存在最小值，求的取值范围；
(3)若仅在两点处的切线的斜率为1，请直接写出的取值范围．（结论不要求证明）

3 . 已知函数，

(1)直接写出时，的最小值.
(2)时，在是否存在零点？给出结论并证明.
(3)若，存在两个零点，求的取值范围.

4 . 已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围.

5 . 已知函数，满足．
(1)求实数a的值，以及函数的最小正周期（无需证明）；
(2)求在区间上的零点个数；
(3)是否存在正整数n，使得在区间上恰有2022个零点，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．

6 . 已知.
(1)求证：；
(2)若关于的方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围.

7 . 已知定义在上的函数，满足，当时，．
(1)若函数的最小正周期为，求证：，为奇函数；
(2)设，若，函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围．

8 . 已知函数．
(1)判断在上的单调性，并证明；
(2)函数若没有零点，求实数的取值范围．

9 . 已知函数有两个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)设，是g（x）的两个零点，证明：．

10 . 已知函数．
(1)用定义证明在定义域上是减函数；
(2)若函数在上有零点，求实数a的取值范围．