导数在研究函数中的作用练习题及答案-高中数学高二-组卷网

23-24高三下·云南·阶段练习

解答题-问答题 | 较难(0.4) |

求在曲线上一点处的切线方程（斜率）由导数求函数的最值（不含参）利用导数研究不等式恒成立问题

名校

解题方法

“在”与“过”，求曲线y=f(x)的切线方程利用导数求解函数的最值

1 . 牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先猜想某个方程

的其中一个根r在

的附近，如图6所示，然后在点

处作

的切线，切线与x轴交点的横坐标就是

，用

代替

重复上面的过程得到

；一直继续下去，得到

，

，…，

.从图形上我们可以看到

较

接近r，

较

接近r，等等.显然，它们会越来越逼近r.于是，求r近似解的过程转化为求

，若设精度为

，则把首次满足

的

称为r的近似解.
已知函数

，

.

(1)试用牛顿迭代法求方程

满足精度

的近似解（取

，且结果保留小数点后第二位）；
(2)若

对任意

都成立，求整数a的最大值.（计算参考数值：

，

）

7日内更新 | 355次组卷 | 4卷引用：浙江省舟山市舟山中学2023-2024学年高二下学期4月清明返校测试数学试题

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23-24高二下·广西·阶段练习

解答题-问答题 | 适中(0.65) |

简单复合函数的导数由导数求函数的最值（不含参）利用导数研究不等式恒成立问题

名校

解题方法

利用导数求解函数的最值利用导数解决恒能成立问题

2 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为

，其中

为参数．当

时，就是双曲余弦函数

，类似地我们可以定义双曲正弦函数

．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，

，

，请写出

，

具有的类似的性质（不需要证明）；
(2)当

时，

恒成立，求实数

的取值范围；
(3)求

的最小值．

2024-03-10更新 | 801次组卷 | 12卷引用：广西示范性高中2023-2024学年高二下学期3月调研测试数学试卷

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2024·全国·模拟预测

解答题-应用题 | 适中(0.65) |

由导数求函数的最值（不含参）利用互斥事件的概率公式求概率利用对立事件的概率公式求概率独立重复试验的概率问题

解题方法

互斥事件概率的求法利用导数求解函数的最值

3 . 公元1651年，一个问题引发了数学家德梅赫、帕斯卡、费马和惠更斯等人的讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢

局，谁便赢得全部赌注

元．每局甲赢的概率为

，乙赢的概率为

，且每局赌博相互独立．在甲赢了

局，乙赢了

局时，赌博意外终止．赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢

局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比

分配赌注．
(1)甲、乙赌博意外终止，若

，

，求甲应分得的赌注；
(2)记事件

为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当

，

时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率

；当

时，求事件

发生的概率的最大值．

2024-02-18更新 | 1296次组卷 | 5卷引用：第七章随机变量及其分布（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第三册）

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22-23高二下·江苏泰州·期末

单选题 | 适中(0.65) |

由导数求函数的最值（不含参）独立重复试验的概率问题

解题方法

利用导数求解函数的最值

4 . 在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若

是只取非负值的随机变量，则对

，都有

.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为

.则

的最大值为（）

A．

B．

C．

D．

2023-07-07更新 | 327次组卷 | 4卷引用：江苏省泰州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题

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22-23高二下·安徽·期末

单选题 | 较易(0.85) |

用导数判断或证明已知函数的单调性

名校

解题方法

构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系

5 . 18世纪数学家欧拉在研究调和级数时得到了这样的成果：当

很大时，

（

为常数）.基于上述事实，已知

，

，则

，

的大小关系为（）

A．

B．

C．

D．

2023-06-19更新 | 625次组卷 | 8卷引用：安徽省十校联盟2022-2023学年高二下学期6月联考数学试题

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22-23高二下·辽宁·阶段练习

多选题 | 适中(0.65) |

由导数求函数的最值（不含参）二倍角的正弦公式判断数列的增减性圆的弧长、面积、圆心角等计算

名校

解题方法

几何法求弦长

6 . 我国魏晋时期杰出的数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率.设圆内接正

边形的周长为

，圆的半径为

，数列

的通项公式为

，则（）

A．	B．
C．是递增数列	D．存在，当时，

2023-06-16更新 | 423次组卷 | 3卷引用：辽宁省名校联盟2022-2023学年高二下学期6月份联合考试数学试题

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22-23高二下·广东佛山·期中

多选题 | 较难(0.4) |

函数对称性的应用利用导数求函数的单调区间（不含参）利用导数研究函数的零点

名校

解题方法

利用导数证明或求解函数单调区间（不含参）利用导数求解函数的最值

7 . 定义：设

是

的导函数，

是函数

的导数.若方程

有实数解

，则称点

为函数

的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数

的对称中心为

，则下列说法中正确的有（）

A．

，

B．函数

有三个零点

C．过

可以作两条直线与

图像相切

D．若函数

在区间

上有最大值，则

2023-06-11更新 | 641次组卷 | 3卷引用：广东省佛山市南海区南海中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

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2023·广东深圳·二模

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

由导数求函数的最值（不含参）利用双曲线定义求方程求双曲线中的最值问题

解题方法

面积问题

8 . 中国是纸的故乡，折纸也是起源于中国.后来数学家将几何学原理运用到折纸中，并且利用折纸来研究几何学，很好的把折纸艺术与数学相结合.将一张纸片折叠一次，纸片上会留下一条折痕，如果在纸片上按照一定的规律折出很多折痕后，纸上能显现出一条漂亮曲线的轮廓.如图，一张圆形纸片的圆心为点D，A是圆外的一个定点，P是圆D上任意一点，把纸片折叠使得点A与P重合，然后展平纸片，折痕与直线DP相交于点Q，当点P在圆上运动时，得到点Q的轨迹.

(1)证明：点Q的轨迹是双曲线；
(2)设定点A坐标为

，纸片圆的边界方程为

.若点

位于（1）中所描述的双曲线上，过点M的直线l交该双曲线的渐近线于E，F两点，且点E，F位于y轴右侧，O为坐标原点，求

面积的最小值.

2023-05-29更新 | 772次组卷 | 5卷引用：第6课时课中直线与双曲线的位置关系

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2023·全国·模拟预测

多选题 | 较难(0.4) |

用导数判断或证明已知函数的单调性求等比数列前n项和错位相减法求和离散型随机变量与连续型随机变量的区分

名校

解题方法

错位相减法

9 . 麦克斯韦妖（Maxwell＇s demon），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且