1 . 设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)证明：．

2 . 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：．
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)（i）证明：当时，；
（ii）证明：．

3 . 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.
(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.

4 . 已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间与极值．

5 . 已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若为的导函数，设．证明：对任意，．

6 . 已知函数 .
(1)求函数 的最小值；
(2)若直线 是曲线 的切线，求 的最小值；
(3)证明：.

7 . 已知函数．
(1)若直线与函数和均相切，试讨论直线的条数；
(2)设，求证：．

8 . 已知函数.
(1)若曲线在处的切线经过坐标原点，求a的值
(2)若方程恰有2个不同的实数根，求a的取值范围.

9 . 已知函数.
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.

10 . 已知函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若有两个不同零点，证明：．