解题方法
1 . 已知函数
.
(1)当
，证明：
；
(2)设
，若
，且
（
），求证：
.
.(1)当
，证明：；(2)设
，若，且（），求证：.
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名校
解题方法
2 . 已知函数
.
（1）讨论
的单调性，并证明：当
时，
.
（2）求证：当
时，函数
存在最小值.
.（1）讨论
的单调性，并证明：当时，.（2）求证：当
时，函数存在最小值.
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名校
解题方法
3 . 设
．
（1）当
时，求证：
；
（2）证明：对一切正整数n，都有
．
．（1）当
时，求证：；（2）证明：对一切正整数n，都有
．
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2021-07-24更新
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1137次组卷
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3卷引用：重庆市南开中学2021届高三下学期第七次质量检测数学试题
名校
4 . 已知函数
是自然对数的底数
，
是
的导函数．
（1）若
，求证：在
单调递增；
（2）证明：有唯一的极小值点（记为
），且
．
是自然对数的底数，是的导函数．（1）若
，求证：在单调递增；（2）证明：
有唯一的极小值点（记为），且．
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2020-11-19更新
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591次组卷
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2卷引用：福建省福州第一中学2021届高三第一学期期中考试数学试题
5 . 已知函数
．
（Ⅰ）若关于x的不等式
恒成立，求m的取值范围；
（Ⅱ）若，方程
的较小的实根为证明函数
在
上单调递减；
（Ⅲ）若
，且函数
的较大零点为
，求证：
．
．（Ⅰ）若关于x的不等式
恒成立，求m的取值范围；（Ⅱ）若
，方程的较小的实根为证明函数在上单调递减；（Ⅲ）若
，且函数的较大零点为，求证：．
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名校
6 . 已知函数
．
（1）若曲线
在点
处的切线方程为
，求的值；
（2）当
时，求证：
；
（3）设函数
，其中
为实常数，试讨论函数
的零点个数，并证明你的结论．
．（1）若曲线
在点处的切线方程为，求的值；（2）当
时，求证：；（3）设函数
，其中为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论．
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2019-12-30更新
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1065次组卷
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5卷引用：专题16 函数的零点-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习
（已下线）专题16 函数的零点-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习江苏省苏州市五校2019-2020学年高三上学期12月月考数学试卷2020届江苏省南京市十三中高三下学期期初考试数学试题天津市实验中学2022届高三下学期高考前热身训练数学试题天津市第四中学2023届高三高考热身数学试题
名校
7 . 已知函数
.
（1）当
时，求证：
；
（2）当
时，若不等式恒成立，求实数
的取值范围；
（3）若
，证明
.
.（1）当
时，求证：；（2）当
时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若
，证明.
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2019-03-30更新
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1686次组卷
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8卷引用：广西梧州高级中学2020-2021学年高二下学期月考试题（理）数学试题
名校
8 . 设函数的导函数为
.若不等式
对任意实数x恒成立，则称函数是“超导函数”.
（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；
（2）若函数
与
都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数
是“超导函数”；
（3）若函数
是“超导函数”且方程
无实根，
（e为自然对数的底数），判断方程
的实数根的个数并说明理由.
的导函数为.若不等式对任意实数x恒成立，则称函数是“超导函数”.（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；
（2）若函数
与都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数是“超导函数”；（3）若函数
是“超导函数”且方程无实根，（e为自然对数的底数），判断方程的实数根的个数并说明理由.
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2018-06-30更新
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895次组卷
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3卷引用：江苏省苏州市震泽中学2020-2021学年高二下学期第二次月考数学试题
名校
解题方法
9 . 已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求证：
．
．(1)求曲线
在点处的切线方程；(2)求证：
．
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2024-03-06更新
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766次组卷
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6卷引用：北京市第二十中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题
北京市第二十中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题人教A版(2019) 选修第二册 过关斩将 名优卷 第五章 单元2 导数在研究函数中的应用 A卷（已下线）5．3．2~5．3．3 极大值与极小值、最大值与最小值 （3）（已下线）高考数学冲刺押题卷02（2024新题型）广东省佛山市南海区南执高级中学2023-2024学年高一下学期第一阶段测数学试题（已下线）5.3.2.2函数的最大(小)值——课后作业（基础版）
名校
10 . 已知函数
.
(1)当
时，若函数
恰有一个零点，求实数的取值范围；
(2)设函数
，
，对于曲线上的两个不同的点
，
，记直线
的斜率为
，若函数的导函数为
，证明：
.
.(1)当
时，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；(2)设函数
，，对于曲线上的两个不同的点，，记直线的斜率为，若函数的导函数为，证明：.
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