1 . 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：．
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)（i）证明：当时，；
（ii）证明：．

2 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当恒成立时，求的取值范围；
(3)证明：.

3 . 已知曲线在处的切线过点．
(1)试求，满足的关系式；（用表示）
(2)讨论的单调性；
(3)证明：当时，．

4 . 已知函数．（是自然对数的底数）
(1)若，，求不等式的解集；
(2)若，证明：对任意，成立；
(3)若，试讨论函数的零点个数，并说明理由．

5 . 已知函数．
(1)当时，证明：当时，；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围．

6 . 已知函数．
(1)若曲线在处的切线与直线平行，求的值；
(2)当时，函数有两个零点.
①求的取值范围；
②证明：．

7 . 设函数，其中且，e是自然对数的底数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，证明：.

8 . 已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，求证有两个零点，，并且．

9 . 已知a，，满足，则（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 已知函数，（其中a为非零实数）．
(1)讨论的单调性；
(2)若函数（e为自然对数的底数）有两个零点．
①求实数a的取值范围；
②设两个零点分别为、，求证：．