名校
1 . 已知函数,
(1)判断的单调性.
(2)求函数,的值域.
(3)证明,.
(1)判断的单调性.
(2)求函数,的值域.
(3)证明,.
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解题方法
2 . 函数的单调性反映在图象上,就是曲线的上升或下降.但曲线在上升或下降的过程中,还有一个弯曲方向的问题,即函数的凹凸性.函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点(即具有相同横坐标的点)的位置关系来描述定义如下:
设在区间上连续,如果对上任意两点恒有,则称在区间上的图形是凹的【图1】,区间为凹的区间;
设在区间上连续,如果对上任意两点恒有,
则称在区间上的图形是凸的【图2】.区间为凸的区间;关于导数与函数的凹凸性的关系,有如下定理:
设在区间上连续,在区间上具有一阶和二阶导数,那么
①如果在上恒有,则在区间上的图象是凹的;如果在区间上的图象是凹的,则在上恒有;
②如果在上恒有,则在区间上的图象是凸的;如果在区间上的图象是凸的,则在上恒有
其中是的导函数,为的一阶导数:是的导函数,为的二阶导数.
根据以上内容,完成如下问题:
(1)求函数的凹的区间和凸的区间;
(2)若在区间上图象是凹的,求实数的取值范围;
(3)证明:.
设在区间上连续,如果对上任意两点恒有,则称在区间上的图形是凹的【图1】,区间为凹的区间;
设在区间上连续,如果对上任意两点恒有,
则称在区间上的图形是凸的【图2】.区间为凸的区间;关于导数与函数的凹凸性的关系,有如下定理:
设在区间上连续,在区间上具有一阶和二阶导数,那么
①如果在上恒有,则在区间上的图象是凹的;如果在区间上的图象是凹的,则在上恒有;
②如果在上恒有,则在区间上的图象是凸的;如果在区间上的图象是凸的,则在上恒有
其中是的导函数,为的一阶导数:是的导函数,为的二阶导数.
根据以上内容,完成如下问题:
(1)求函数的凹的区间和凸的区间;
(2)若在区间上图象是凹的,求实数的取值范围;
(3)证明:.
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名校
3 . 已知函数,
(1)讨论的单调性;
(2)当时,以为切点,作直线交的图像于异于的点,再以为切点,作直线交的图像于异于的点,…,依此类推,以为切点,作直线交的图像于异于的点,其中.求的通项公式.
(3)在(2)的条件下,证明:
(1)讨论的单调性;
(2)当时,以为切点,作直线交的图像于异于的点,再以为切点,作直线交的图像于异于的点,…,依此类推,以为切点,作直线交的图像于异于的点,其中.求的通项公式.
(3)在(2)的条件下,证明:
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2024-06-28更新
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494次组卷
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2卷引用:四川省绵阳南山中学2023-2024学年高二下学期期末热身数学试题
名校
解题方法
4 . 已知函数.
(1)当时,求的最小值;
(2)①求证:有且仅有一个极值点;
②当时,设的极值点为,若.求证:
(1)当时,求的最小值;
(2)①求证:有且仅有一个极值点;
②当时,设的极值点为,若.求证:
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2024-05-08更新
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866次组卷
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4卷引用:四川省南充市2024届高三高考适应性考试(三诊)文科数学试题
四川省南充市2024届高三高考适应性考试(三诊)文科数学试题(已下线)专题15 导数与三角函数联袂【练】广西南宁市第三中学2024届高三下学期校二模数学试题(已下线)专题19 导数综合(5大考向真题解读)
名校
解题方法
5 . 罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一,它与导数和函数的零点有关,是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的.它的表达如下:如果函数满足在闭区间连续,在开区间内可导,且,那么在区间内至少存在一点,使得.
(1)运用罗尔定理证明:若函数在区间连续,在区间上可导,则存在,使得.
(2)已知函数,若对于区间内任意两个不相等的实数,都有成立,求实数的取值范围.
(3)证明:当时,有.
(1)运用罗尔定理证明:若函数在区间连续,在区间上可导,则存在,使得.
(2)已知函数,若对于区间内任意两个不相等的实数,都有成立,求实数的取值范围.
(3)证明:当时,有.
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2024-04-06更新
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1705次组卷
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3卷引用:四川省眉山市仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高二下学期4月数学滚动检测卷
名校
解题方法
6 . ①在微积分中,求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则,法则中有结论:若函数,的导函数分别为,,且,则
.
②设,k是大于1的正整数,若函数满足:对任意,均有成立,且,则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息,回答下列问题:
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数;
(2)计算:;
(3)证明:,.
.
②设,k是大于1的正整数,若函数满足:对任意,均有成立,且,则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息,回答下列问题:
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数;
(2)计算:;
(3)证明:,.
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2024-03-21更新
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1549次组卷
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8卷引用:四川省阆中中学校2023-2024学年高二下学期4月期中学习质量检测数学试题
四川省阆中中学校2023-2024学年高二下学期4月期中学习质量检测数学试题四川省南充市阆中中学2023-2024学年高二下学期期中数学试卷四川省遂宁中学校高新校区2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考数学试题福建省厦门市外国语学校2023-2024学年高二下学期4月份阶段性检测数学试题(已下线)浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考数学试题变式题16-19(已下线)专题14 洛必达法则的应用【练】(已下线)专题2 函数与导数新定义压轴大题(过关集训)
名校
解题方法
7 . 设函数,.
(1)①当时,证明:;
②当时,求的值域;
(2)若数列满足,,,证明:().
(1)①当时,证明:;
②当时,求的值域;
(2)若数列满足,,,证明:().
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2023-12-30更新
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1212次组卷
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5卷引用:四川省成都市第七中学2024届高三上学期期末数学(理)试题
(已下线)四川省成都市第七中学2024届高三上学期期末数学(理)试题重庆市育才中学、万州高级中学及西南大学附中2024届高三上学期12月三校联考数学试题广东省广州市华南师大附中2024届高三上学期大湾区数学预测卷(一)(已下线)微考点2-5 新高考新试卷结构19题压轴题新定义导数试题分类汇编(已下线)重难点突破01 数列的综合应用(十三大题型)-2
名校
解题方法
8 . 已知在中,.证明:
(1);
(2)在上恒成立;
(3).
(1);
(2)在上恒成立;
(3).
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名校
解题方法
9 . 设函数.
(1)若最小值为,求的范围;
(2)令,的图象上有一点列,若直线的斜率为,证明:.
(1)若最小值为,求的范围;
(2)令,的图象上有一点列,若直线的斜率为,证明:.
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名校
解题方法
10 . 已知函数,,有以下四个命题:①曲线在处的切线方程为;②是函数的极值点;③对,不等式恒成立;④.
其中正确的命题有______ .(将正确的序号都写上,多写漏写均不得分)
其中正确的命题有
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