1 . 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：．
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)（i）证明：当时，；
（ii）证明：．

2 . 已知函数.
(1)若直线是曲线的切线，求实数的值；
(2)若对任意实数恒成立，求的取值范围；
(3)若，且，求实数的最大值.

3 . 已知函数有两个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：；
(3)求证：．

4 . 已知函数.
(1)若有且仅有一个零点，求实数的取值范围：
(2)证明：.

5 . 已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若，函数有两个零点，且，求证：．

6 . 已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若时，，求a的取值范围；
(3)对于任意，证明：．

7 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)函数有两个零点，求证：.

8 . 已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，，且，求证：(其中是自然对数的底数).

9 . 已知函数，其中．
(1)当时，求证：在上单调递减；
(2)若有两个不相等的实数根．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：．

10 . 设，.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，证明：；
(3)证明：.